Division (Mathematik)

D Division isch eini vo de vier Grundrächenarte in dr Arithmetik. Si isch d Unchehroperation vo dr Multiplikation. D Division wird umgangssprochlig au as Deile bezeichnet. Die schriftligi Division isch d Methode vom Deile mit Bleistift und Papier, wo in dr Schuel glehrt wird.

${\displaystyle 20:4=5}$

Definition

In de Körper vo de rationale, reelle und komplexe Zahle gältet:

Für jedi Zahl ${\displaystyle a}$ und für jedi, vo null verschiideni, Zahl ${\displaystyle b}$ git s genau ei Zahl ${\displaystyle x}$, wo die folgendi Gliichig erfüllt:

${\displaystyle b\cdot x=a}$   (wird «b mol x gliich a» gläse).

D Umchehrig vo dr Multiplikation zur Bestimmig vo ${\displaystyle x}$ heisst Division. Mä dividiert («deilt») ${\displaystyle a}$ dur ${\displaystyle b}$ und cha eso ${\displaystyle x}$ bestimme:

${\displaystyle x=a:b}$   (wird «x gliich a deilt dur b» gläse).

Begriff

D Zahl ${\displaystyle a}$, wo deilt wird, heisst «Dividend» (lat. wörtlig das wo z deile isch).

D Zahl ${\displaystyle b}$, wo drdur deilt wird, heisst «Divisor» (dr Deiler).

Dr Term ${\displaystyle a:b}$ heisst «Quotient».

S Ergäbnis vo dr Division heisst «Wärt vom Quotient».

Für d Division gältet weder s Kommutativgsetz no s Assoziativgsetz.

Für ${\displaystyle x=a:b}$ gältet usserdäm ${\displaystyle x={\tfrac {1}{b}}\cdot a}$.

D Umchehrig vo dr Multiplikation zur Bestimmig vo ${\displaystyle x}$ loot sich also au mit dr Multiplikation vo dr Umchehrig (Gegedeil) vom 1 Faktor bestimme.

Division dur null

Dr Divisor muess ungliich null si, wil sust dr Quotient ${\displaystyle a:b}$ as Lösig vo dr Gliichig ${\displaystyle b\cdot x=a}$ für ${\displaystyle b=0\ }$ nid eidütig definiert isch:

Gäb s zun ere Zahl ${\displaystyle a\neq 0}$ e Zahl ${\displaystyle x={\frac {a}{0}}}$, so wär die Zahl Lösig vo dr Gliichig ${\displaystyle a=x\cdot 0=0}$, womit sich e Widerspruch zur Vorussetzig ${\displaystyle a\neq 0}$ wurd ergee, d. h. es git kei Lösig für ${\displaystyle x}$.

Wär d Division vo null dur null definiert, gäb s also e Zahl ${\displaystyle x={\frac {0}{0}}}$, so wär die Zahl e (eidütigi) Lösig vo dr Gliichig ${\displaystyle x\cdot 0=0}$, also zun ere Gliichig, wo für jedes ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ richtig isch. Dodrmit isch aber dr Bruch ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ nid eidütig definiert und isch dorum unbestimmt.

Wil also dr Quotient ${\displaystyle a:0}$ äntwäder gar keini (für ${\displaystyle a\neq 0}$) oder meh as ei Lösig (für ${\displaystyle a=0}$) het, sait mä allgemein:

«D Division dur null isch nid definiert.»

Weblingg

 Commons: Division (mathematics) – Sammlig vo Multimediadateie

 Wikibooks: Mathematik: Schulmathematik: Division — Lern- und Lehrmaterialie

Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Division_(Mathematik)“ vu de dütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.