Fundamentalsatz der Arithmetik

Dr Fundamentalsatz vo dr Arithmetik oder Hauptsatz vo dr elementare Zaaletheorii säit us, ass jeedi natüürligi Zaal in Primfaktore cha zerlegt wärde und dass die Zerleegig in dr kanonische Daarstellig äidütig isch.

D Bewiise für die bäide Ussaage sin elementar, wärde klassisch as Widerspruchsbewiis formuliert und nütze d Woolordnig vo de natürlige Zaale us. Zum erste Mol isch dr Satz vollständig und korräkt vom Carl Friedrich Gauß in de Disquisitiones Arithmeticae bewiise worde. Er isch aber in ere liicht abgwandlete Form scho im Euklid bekannt gsi.

Dr Bewiis vo dr Existänz

Mä ordnet em Äins s leere Brodukt zue und jedi Primzaal sig sälber iiri Primfaktorzerleegig. Jetz muess mä zäige, ass alli rästlige natürlige Zaale daatsächlig us Primfaktore zämmegsetzt si.

Aagnoo, es git Zaale, wo mä nit as Brodukt vo Primzaale cha daarstelle, denn git s au e chliinsti sonigi Zaal (gnennt ${\displaystyle n}$), wäge dr Woolordnig vo ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Wil ${\displaystyle n}$ denn weder s Äins non e Primzaal isch, het s e Däiler, und eso existiere zwäi natürligi Zaale ${\displaystyle a,b}$ mit ${\displaystyle ab=n}$ und bäidi si gröösser as Äins und chliiner as ${\displaystyle n}$. Wil ${\displaystyle n}$ die chliinsti Zaal isch, wo käi Brodukt vo Primfaktore isch, müesse ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ also Primfaktorzerleegige haa, öbbe ${\displaystyle a=\Pi p_{i}}$ und ${\displaystyle b=\Pi q_{j}}$. Denn isch aber ${\displaystyle \Pi p_{i}\cdot \Pi q_{j}}$ au e Primfaktorzerleegig vo ${\displaystyle n}$, im Widerspruch zu was mä aagnoo het.

Dr Bewiis vo dr Äidütigkäit

Aagnoo, es git natürligi Zaale wo jedi meereri underschidligi Zerlegige het, denn git s wider au e chliinsti, gnennt ${\displaystyle n}$. Die cha käi Primzaal si und zwäi Zerleegige vo ${\displaystyle n}$ chönne käi gmäinsame Primfaktor ${\displaystyle p}$ enthalte, wil denn au ${\displaystyle n/p}$ zwäi verschiideni Zerleegige hätti und chliiner as ${\displaystyle n}$ weer, im Widerspruch zur Aanaam, ass ${\displaystyle n}$ minimal isch. Es gilt also öbbe ${\displaystyle n=p\cdot a=q\cdot b}$, und doo si ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ Primzaale, und es gilt au ${\displaystyle p\neq q,a\neq b}$. S abschliessende Argumänt isch s Lemma vom Euklid: Wenn e Primzaal e Brodukt däilt, so däilt s au äine vo de Faktore. Wil ${\displaystyle n}$ dur ${\displaystyle p}$ cha däilt wärde, muess äine vo de Faktore vo dr andere Zerleegig dur ${\displaystyle p}$ däilbar si und das isch ${\displaystyle b}$, denn ${\displaystyle q}$ isch e Primzaal. Also daucht jede Primfaktor immer in bäide Zerleegige uf und dorum sin si idäntisch.

Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Primfaktorzerlegung“ vu de dütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.