非结合代数
域上的代数,其中的乘法不必符合结合律 / 維基百科,自由的 encyclopedia
非结合代数[1]:Chapter 1(或分配代数,distributive algebra)是域上的代数,其中乘法不必遵循结合律。即,有代数结构A、域K,若A是K上配备K-双线性乘法(不必符合结合律)的向量空间,则称其为K上的非结合代数。例如李代数、约尔丹代数、八元数、具备叉积的3维欧氏空间。由于乘法不必结合,须用括号表示乘法的顺序,比如(ab)(cd)、(a(bc))d、a(b(cd))的含义是不一样的。
这里的“非结合”是说不必结合,而非必不结合,就像非交换环的“非交换”是说“不必交换”。
若代数有单位元e,使得,则称代数是含幺的或酉的。例如,八元数是含幺的,而李代数绝不含幺。
A的非结合代数结构可与A的K-自同态的全代数的子代数(是结合代数)相关联,作为K-向量空间研究。两个例子是微分代数与(结合)包络代数,后者有“包含A的最小结合代数”的意味。
更一般地,有人提出交换环R上非结合代数的概念:具备R-双线性乘法的R-模。[1]:1若一结构服从除结合律外所有环的公理(如R代数),则就自然是-代数,所以有人称非结合-代数为非结合环。