几何群论
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几何群论是数学中的一个领域,是群论的一个分支。几何群论通过探索几何群的代数性质,还有这些群的群作用的空间中拓扑和几何性质之间的联系来研究有限生成群(这里的几何群指可以用几何上的对称性或某些空间的连续变换来生成的群)。
几何群论中的另一个重要思想是将有限生成群本身视为几何对象。这通常是通过研究群的凯莱图来完成的,除了图论的性质以外之外,群的凯莱图通过词度量方法,也具有度量空间的结构,。
几何群论是一个比较新的领域,在 20 世纪 80 年代末和 90 年代初才成为一个独立的数学分支。几何群论与低维拓扑、双曲几何、代数拓扑、计算群论和微分几何密切相关。同时,它也与复杂性理论、数理逻辑、李群及其离散子群的研究、动力系统、概率论、 K 理论和其他数学领域也有实际联系。
皮埃尔·德·拉·哈普 ( Pierre de la Harpe ) 在其著作《几何群论》 (Topics in Geometric Group Theory ) 的序言中写道:“我相信,人类用对于对称性和群的迷恋来应对生活挫折:我们喜欢认出(图形中的)对称性,这让我们觉得:我们能够识别出比我们看到的更多的东西。从这个意义上说,几何群论的研究是文化的一部分,我想起乔治·德·拉姆(瑞士数学家)在许多场合做过的几件事,比如教授数学、背诵马拉美(Stéphane Mallarmé, 法国诗人),或者和朋友交流”。 [1] :3