Eulerscher Polyedersatz
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Der Eulersche Polyedersatz (auch: die Eulersche Polyederformel), benannt nach Leonhard Euler, beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von beschränkten, zur Sphäre homöomorphen Polyedern[1] bzw. allgemeiner: von zusammenhängenden planaren Graphen.
Hinter der Formel steckt das topologische Konzept der Euler-Poincaré-Charakteristik . Die Eulersche Polyederformel ist der Spezialfall für (drei Dimensionen) unter stillschweigender Vernachlässigung von (wir betrachten immer einen Körper) und ergibt dann ein :
- ( nach Eulerschem Polyedersatz)
- ( nach Euler-Poincaré-Charakteristik)
mit Anzahl der Ecken, Anzahl der Kanten, Anzahl der Flächen und Anzahl der Zellen.
Sie gilt (da so definiert) allgemein für Polyeder der Charakteristik (bzw. ), zu denen ausnahmslos alle konvexen und viele „gutmütige“ konkave Polyeder gehören, siehe dazu Abschnitt Gültigkeit.[2]