Anell (matemàtiques)
estructura algebraica / From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, un anell és una estructura algebraica formada per un conjunt A d'elements on hi ha definides dues operacions binàries, que anomenarem suma (+) i producte (·) (tot i que no són necessàriament la suma i el producte de nombres reals habituals) i que compleixen les següents propietats:[1][2][3]
- (A,+) és un grup commutatiu, és a dir:
- a+(b+c) = (a+b)+c per a tots els elements de A (associativitat).
- Existeix un element, 0, tal que 0+a = a+0 = a per a tot a de A (element neutre).
- Tot element a de A té un invers, −a, de manera que a+(−a) = (−a)+a = 0 (element invers).
- a+b = b+a per a tots els elements de A (commutativitat).
- (A,·) verifica que
- a·(b·c) = (a·b)·c per a tots els elements de A (associativitat).
- a·(b+c) = a·b+a·c i (a+b)·c = a·c+b·c per a tots els elements de A (propietat distributiva respecte a la suma).
Alguns autors com Bourbaki, només consideren els anells unitaris, és a dir, aquells on l'operació producte admet un element neutre denotat 1 o explícitament 1A que compleix:
- 1⋅a = a⋅1 = a per a tot a ∈ A.
Aquests autors acostumen a anomenar pseudo-anells als conjunts que no compleixen aquesta darrera condició.
Fixem-nos que, en canvi, la commutativitat del producte (a·b = b·a) no és una condició dels anells. Els anells que sí que la compleixen s'anomenen anells commutatius.[1]
Fixem-nos també que l'element invers està definit per a la suma, però no per al producte.[4] El conjunt d'elements invertibles d'un anell s'anomena el seu grup d'unitats, perquè té l'estructura de grup amb el producte. Quan l'element nul (zero) és l'únic element no invertible d'un anell, aquest s'anomena cos.