贝塞尔过程

在数学中，贝塞尔过程（Bessel process）是一种随机过程，以弗里德里希·贝塞尔命名。

正式定义

贝塞尔过程的三个例子

设${\displaystyle W_{t}}$是从原点开始的${\displaystyle n}$维的维纳过程（布朗运动），则其欧几里得范数${\displaystyle X_{t}=\|W_{t}\|}$就定义为${\displaystyle n}$阶贝塞尔过程。${\displaystyle n}$阶贝塞尔过程也是以下随机微分方程的解

${\displaystyle dX_{t}=dZ_{t}+{\frac {n-1}{2}}{\frac {dt}{X_{t}}}}$

其中${\displaystyle Z_{t}}$是1维维纳过程（布朗运动）。注意这个随机微分方程对任意实参数${\displaystyle n}$都有意义（尽管漂移项在零处是奇异的）。因为之前假设${\displaystyle W_{t}}$从原点开始，所以初始条件为${\displaystyle X_{t}=0}$。

从零开始的${\displaystyle n}$阶贝塞尔过程记做${\displaystyle {\text{BES}}_{0}(n)}$

参考资料

• Øksendal, Bernt (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
• Williams D. (1979) Diffusions, Markov Processes and Martingales, Volume 1 : Foundations. Wiley. ISBN 0-471-99705-6.