肢解國際象棋盤問題

肢解國際象棋盤問題（英語：mutilated chessboard problem）屬於平鋪拼圖問題（英语：Tiling puzzle），最早是由Max Black（英语：Max Black）在1946年的《Critical Thinking》中提出。後來數學家所羅門·格倫布（1954年）及馬丁·加德納（在雜誌《科學人》中的專欄《Mathematical Games》中）都有討論到此問題。問題：「假設一個標準的8x8格國際象棋棋盤，移除對角的2個方塊，餘下62個方塊。可不可以用31個2x1格骨牌來蓋上餘下方塊呢？」

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8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
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肢解國際象棋盤問題

一個二格骨牌

大部份討論此問題的文獻是在概念上說明此問題^[1]，電腦科學家约翰·麦卡锡認為這問題對於自動證明系統而言是很難的問題^[2]。若使用归结系統，其解的困難度是指數等級^[3]。

解法

肢解國際象棋盤問題的例子，移除了左上和右下的白格，棋盤中間二個黑色的方格無法用骨牌填滿，但不容易注意到

肢解國際象棋盤問題是無解的。國際象棋盤上的2x1格骨牌一定會佔據一個白色方格及一個黑色方格，因此被骨牌填滿的位置，白色方格及黑色方格的個數相同。在肢解國際象棋盤問題中，若移除的二個是白色方格，有32個黑色方格及30個白色方格要填滿，兩者數量不同，無法用2x1格骨牌填满。若移除的二個是黑色方格，有30個黑色方格及32個白色方格要填滿，還是無法用2x1格骨牌填满^[4]。

高莫利定理

只要國際象棋盤上移除二個同色的方格，相同的方式可以證明，移除方格後的棋盤無法用2x1格骨牌填滿。不過若填除的是二個不同顏色的方格，一定可以用2x1格骨牌填滿，這個結果稱為高莫利定理（Gomory's theorem）^[5]，得名自數學家拉爾夫·愛德華·高莫利（英语：Ralph E. Gomory），他在1973年提出的證明^[6]。高莫利定理可以用棋盤組成格子圖（英语：grid graph）的哈密顿图來證明，移去二個不同色的方格會將哈密顿图切成二部份，每個部份的黑色方格及白色方格都一樣多，兩部份都可以用2x1格骨牌填滿。

參見

• 鄧克輻射難題
• 二格骨牌平鋪（英语：Domino tiling）