等对角线四边形

在欧几里得几何中，等对角线四边形（英語：Equidiagonal quadrilateral，也称为等軸四邊形）是指对角线长相等的凸四边形。等軸四邊形是古印度数学中的重要概念，古印度数学家把四边形先分为等轴和非等轴，再往下分类^[1]。换句话说，就是将等腰梯形、矩形等分为一类，直角梯形、菱形等分为另一类。

等軸四邊形，红色为对角线，蓝色为双中线，其伐里農平行四邊形为菱形

特殊例子

等对角线四边形包含等腰梯形、矩形和正方形。

周长-直径比最大的等轴鷂形内接于勒洛三角形。

周长-直径比最大的四边形是内角为π/3、5π/12、5π/6和5π/12的等轴鷂形。^[2]

特征

当且仅当凸四边形的伐里農平行四邊形（由四边的中点连接而成的平行四边形）为菱形，则它是等对角线的，相当于此凸四边形的双中线（伐里農平行四邊形的对角线）互相垂直。^[3]

设某凸四边形的对角线长度为${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$，双中线长度${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$，则它是等对角线的，当且仅当^[4]:Prop.1

${\displaystyle pq=m^{2}+n^{2}.}$

面积

等对角线四边形的面积K可以用其双中线长度m和n求出。某四边形是等对角线的，当且仅当^{[5]:p.19; [4]:Cor.4}

${\displaystyle \displaystyle K=mn.}$

这是因为凸四边形的面积是其伐里農平行四邊形的两倍，以及此平行四邊形的对角线是此凸四边形的双中线。根据双中线长度的公式，等对角线四边形的面积可以用四边边长${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$和${\displaystyle d}$以及对角线中点的距离${\displaystyle x}$表示：^[5]:p.19

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.}$

在凸四边形的面积公式中设p = q，也可以得到其他面积公式。

与其它四边形的关系

当且仅当平行四边形是矩形，则它是等对角线的^[6]

等对角线四边形和正交四边形有对偶关系，当且仅当四边形的伐里農平行四邊形是正交的（菱形），则它是等轴的；当且仅当它的伐里農平行四邊形是等轴的（矩形），则它是正交的^[3]。换言之，当且仅当四边形的双中线互相垂直，则它的对角线相等；当且仅当四边形的双中线互相相等，则它的对角线互相垂直。

等腰梯形

对角线相等的圆外切四边形必定是圆外切等腰梯形

通过全等三角形（SSS），易证当且仅当梯形是等腰梯形时，则它的对角线相等。同样，通过全等三角形（SAS）易得圆内接四边形对角线相等时必定是等腰梯形。

圆外切四边形的对角线长p, q与四个顶点出发的切线长e, f, g, h的关系为 ^[7]:Lemma2：

${\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},}$

${\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}.}$

当p=q时，两边平方，相减后可得${\displaystyle e+h=f+g}$，暨一对对边长相等，通过全等三角形（SSS）可得其为等腰梯形，暨对角线相等的圆外切四边形必定是圆外切等腰梯形。

中方四边形

在所有四边形中，等轴正交四边形（对角线的长度大于或等于所有边）的直径-面积比最高，所以是最大面积最小直径四边形（英语：biggest little polygon）问题中n = 4的解。正方形是其中一例，但此类四边形有无限个。等轴正交四边形也称作中方四边形（英語：midsquare quadrilateral）^{[4]:p. 137}，因为它们是唯一一种伐里農平行四邊形为正方形的四边形。设此类四边形的相邻边长为${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$和${\displaystyle d}$，则其面积等于^[4]:Thm.16

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}\left(a^{2}+c^{2}+{\sqrt {4(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}}\right)}$

中方平行四边形即是正方形。

• 
  一般中方四边形
• 
  中方梯形
• 
  中方筝形
• 
  “中方平行四边形”：正方形

参考文献

1. Colebrooke, Henry-Thomas, Algebra, with arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara, John Murray: 58, 1817.
2. Ball, D.G., A generalisation of π, Mathematical Gazette, 1973, 57 (402): 298–303, doi:10.2307/3616052, Griffiths, David; Culpin, David, Pi-optimal polygons, Mathematical Gazette, 1975, 59 (409): 165–175, doi:10.2307/3617699.
3. de Villiers, Michael, Some Adventures in Euclidean Geometry, Dynamic Mathematics Learning: 58, 2009, ISBN 9780557102952.
4. Josefsson, Martin, Properties of equidiagonal quadrilaterals, Forum Geometricorum, 2014, 14: 129–144 [2024-09-14], （原始内容存档于2024-06-05）.
5. Josefsson, Martin, Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles (PDF), Forum Geometricorum, 2013, 13: 17–21 [2024-09-14], （原始内容 (PDF)存档于2024-03-24）.
6. Gerdes, Paulus, On culture, geometrical thinking and mathematics education, Educational Studies in Mathematics, 1988, 19 (2): 137–162, JSTOR 3482571, doi:10.1007/bf00751229.
7. Hajja, Mowaffaq, A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic (PDF), Forum Geometricorum, 2008, 8: 103–106 [2024-09-18], （原始内容 (PDF)存档于2019-11-26）.