皮卡定理

关于微分方程唯一解的定理，请见「皮卡-林德勒夫定理」。

皮卡定理是两个不同的数学定理的泛称，由法国数学家埃米爾·皮卡证明。这两个定理都涉及解析函数的值域。

定理的表述

小定理

函数exp(1/z)，在z=0处具有本性奇点。z的色相表示它的辐角，而发光度则表示绝对值。这个图像说明了接近于奇点时，可以取得任何非零的值。

皮卡小定理说明，如果复变函数${\displaystyle f(z)}$是整函数且不是常数，则${\displaystyle f(z)}$的值域或者是整个复平面，或者只去掉一个点。 这个定理在1879年证明。它强化了刘维尔定理：任何不是常数的整函数都一定是无界的。

皮卡的原始证明利用了模λ函數（Modular lambda function）。^[1]证明概要如下：若${\displaystyle f(z)}$的值域不包含复平面上的两个点，不失一般性地，可以假设${\displaystyle f(z)}$的值域不包含0和1，设${\displaystyle w_{0}}$是其值域中的点，在这个点附近，可以选取模函数${\displaystyle \lambda (z)}$的逆的某个单值解析分支，记作${\displaystyle \lambda ^{-1}(z)}$。利用模函数的通用覆盖性和单值性定理（英语：Monodromy_theorem），可以将${\displaystyle z_{0}}$点（${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$）附近定义的复合映射${\displaystyle \lambda ^{-1}(f(z))}$解析延拓到整个复平面上，从而得到一个在复平面上单值解析但有界的函数。根据刘维尔定理，该函数为常函数。因此${\displaystyle f(z)}$也是常函数。^[2]

大定理

皮卡大定理说明，如果${\displaystyle f(z)}$在点${\displaystyle w}$具有本性奇点，那么在任何含有${\displaystyle w}$的开集中，${\displaystyle f(z)}$都将取得所有可能的复数值，最多只有一个例外。

这个定理强化了魏尔施特拉斯-卡索拉蒂定理（英语：Casorati–Weierstrass theorem），后者只保证了f的值域在复平面内是稠密的。

评论

• 这个“唯一的例外”实际上在两个定理中都是需要的：指数函数e^z是一个整函数，永远不能是零。e^1/z在0处具有本性奇点，但仍然不能取得零。

• 皮卡大定理在一个更一般的形式中也是正确的，可以应用于亚纯函数：如果M是一个黎曼曲面，w 是M上的一个点，P¹C = C∪{∞}表示黎曼球面，f : M \ {w} → P¹C是一个全纯函数，在w处具有本性奇点，那么在M的任何含有w的开子集中，函数f都可以取得除了两个点以外的所有P¹C的点。

例如，亚纯函数f(z) = 1/(1 − exp(1/z))在z = 0处具有本性奇点，在0的任何邻域内都无穷多次取得值∞；但它无法取得0或1的值。

• 皮卡小定理可以从皮卡大定理推出，因为整函数要么是多项式，要么在无穷远处具有本性奇点。

注释

1. Sanford L. Segal. Nine Introductions in Complex Analysis. Elsevier. 2007: 35. ISBN 9780080550763.
2. 李忠. 复分析导引. 北京大学出版社. 2004: 15. ISBN 9787301077986.

参考文献

• Conway, John B. Functions of One Complex Variable I 2nd. Springer. 1978. ISBN 0-387-90328-3.
• Shurman, Jerry. Sketch of Picard's Theorem (PDF). [2010-05-18]. （原始内容存档 (PDF)于2020-10-19）.