基 (線性代數)

在线性代数中，基（英語：basis，又稱基底）是向量空间裡某一群特殊的向量（称为基向量），使得向量空间中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的线性组合（或線性組合的極限）。

在R²中标准基的图示。红蓝向量是这个基的元素。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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查 论 编

通过基底可以直接地描述向量空间 ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 上定义的线性映射 ${\displaystyle f}$ ，詳請參見线性映射#矩陣一節。

定义

Hamel基

Hamel基的定義 — ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 是定义在域 ${\displaystyle K}$（也就是标量的母空間，如实数系 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或复数系 ${\displaystyle \mathbb {C} }$）上的向量空间，如果 ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的子集 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 满足：

1. ${\displaystyle 0_{V}\notin {\mathfrak {B}}}$ （也就是零向量不會在 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 裡）
2. 若 ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$ 且 ${\displaystyle v\neq 0_{V}}$，則存在唯一的一組相異向量 ${\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B}}}$ 和唯一的一組非零标量 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}$ 使得 ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot e_{1}+\lambda _{2}\cdot e_{2}+\cdots +\lambda _{n}\cdot e_{n}=v}$ 。

则稱 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 是向量空间 ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的一组Hamel基。${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 裡的元素被稱為基向量 ，若基向量的總數是有限個，${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 則會被稱為有限基或直接簡稱為基。

上面的第二個條件，也可以等價地改寫為以下兩條^[1]：

线性无关(linear independence)	對任意相異的${\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B}}}$ 和任意的 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}$，若 ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot e_{1}+\lambda _{2}\cdot e_{2}+\cdots +\lambda _{n}\cdot e_{n}=0_{V}}$，则${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\ldots =\lambda _{n}=0_{K}}$
生成律(spanning property)	对任意${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$，存在相異向量 ${\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B}}}$和标量 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}$ 使得 ${\displaystyle \lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}=v}$

等價性來自於線性無關：

若有第二組相異 ${\displaystyle E_{1},\,E_{2},\,\ldots ,\,E_{m}\in {\mathfrak {B}}}$ 基向量和第二組标量 ${\displaystyle c_{1},\,c_{2},\,\ldots ,\,c_{m}\in K}$ 也滿足 ${\displaystyle c_{1}\cdot E_{1}+c_{2}\cdot E_{2}+\cdots +c_{m}\cdot E_{m}=v}$ 的話，把這住兩組基向量合併，並重新排列，於兩組間重複的記為 ${\displaystyle w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{l}\in {\mathfrak {B}}}$ ，其他不重複的部分，第一組的記為 ${\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n-l}\in {\mathfrak {B}}}$ ；而第二組的記為 ${\displaystyle u_{1},\,u_{2},\,\ldots ,\,u_{m-l}\in {\mathfrak {B}}}$ ；然後設 ${\displaystyle w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{l}\in {\mathfrak {B}}}$ 於原來第一組對應的标量係數是 ${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{l}\in K}$ ；原第二組則是對應 ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{l}\in K}$ 。另外 ${\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n-l}\in {\mathfrak {B}}}$ 對應的标量係數則為 ${\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n-l}\in K}$ ；${\displaystyle u_{1},\,u_{2},\,\ldots ,\,u_{m-l}\in {\mathfrak {B}}}$ 對應的标量係數則為 ${\displaystyle b_{1},\,b_{2},\,\ldots ,\,b_{m-l}\in K}$ ； 這樣把 ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$ 的第一組線性組合表達式減去第二組會有

${\displaystyle \sum _{i=1}^{l}(\alpha _{i}-a_{i})\cdot w_{i}+\sum _{j=1}^{n-l}\beta _{j}\cdot v_{j}+\sum _{k=1}^{m-l}(-b_{k})\cdot u_{k}=0_{V}}$

這樣依據線性無關，就有

${\displaystyle \alpha _{1}-a_{1}=\alpha _{2}-a_{2}=\cdots =\alpha _{l}-a_{l}=0_{K}}$

${\displaystyle \beta _{1}=\beta _{2}=\cdots =\beta _{n-l}=0_{K}}$

${\displaystyle b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{m-l}=0_{K}}$

這就確保任意 ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$ 的線性組合表達式都是用同一組的基向量，且其标量係數也是唯一的。

Schauder基

除了上小節單以線性組合定義的Hamel基，也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基：

Schauder基的定義 — ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 是定义在域 ${\displaystyle K}$ 上的巴拿赫空间（范数記為${\displaystyle \|v\|}$），若向量序列 ${\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 滿足：

• 對所有自然数 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ，${\displaystyle e_{i}\neq 0_{V}}$ （也就是零向量不會在 ${\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 裡）
• 對每個 ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$ ，都存在唯一組标量${\displaystyle {\{\lambda _{i}\in K\}}_{i\in \mathbb {N} }}$，使得對所有的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 使得 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 且 ${\displaystyle n>m}$ 則 ${\displaystyle \left\|\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\cdot e_{i}-v\right\|<\epsilon }$ （仿造數列極限而定義）

那向量序列 ${\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 則被稱為是向量空间 ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的一组Schauder基。

第二項條件通常會簡寫為

對每個 ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$ ，都存在唯一組标量${\displaystyle {\{\lambda _{i}\in K\}}_{i\in \mathbb {N} }}$，使 ${\displaystyle v=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\cdot e_{i}}$

甚至寫為

${\displaystyle v=\sum _{i=0}^{\infty }\lambda _{i}\cdot e_{i}}$

例子

在傅立叶级数的研究中，函数${\displaystyle \{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n\in \mathbb {N} \}}$是所有的在区间[0, 2π]上为平方可积分的（实数或复数值）的函数的（实数或复数）向量空间的“正交基”，这种函数${\displaystyle f(x)}$满足

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .}$

函数族${\displaystyle \{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n\in \mathbb {N} \}}$是线性无关的，所有在[0, 2π]上平方可积分的函数是它们的“无限线性组合”，在如下意义上

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx){\bigr )}-f(x){\biggr |}^{2}\,dx=0}$

对于适合的（实数或复数）系数a_k, b_k。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合，因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值，而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。

維度

如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，並将元素的个数称作向量空间的维度^[2]。如果原本的基底為：

${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\left\{e_{1},\,e_{2},\ldots ,\,e_{N}\right\}}$

那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質，反過來用基向量序列 ${\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i=1}^{N}}$ 來間接代表${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$。

事实上，不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中，如果承认选择公理，就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能得到一组基。特别地，在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。

性质

设${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$是向量空间${\displaystyle \mathrm {V} }$的子集。则${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$是基，当且仅当满足了下列任一条件：

• ${\displaystyle \mathrm {V} }$是${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$的极小生成集，就是说只有${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$能生成${\displaystyle \mathrm {V} }$，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
• ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$是${\displaystyle \mathrm {V} }$中线性无关向量的极大集合，就是说${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$在${\displaystyle \mathrm {V} }$中是线性无关(線性獨立)集合，而且${\displaystyle \mathrm {V} }$中没有其他线性无关(線性獨立)集合包含它作为真子集。
• ${\displaystyle \mathrm {V} }$中所有的向量都可以按唯一的方式表达为${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

如果承认良序定理或任何选择公理的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。

例子

• 考虑所有坐标 (a, b)的向量空间R²，这里的a和b都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e₁ = (1,0)和e₂ = (0,1):假设v = (a, b)是R²中的向量，则v = a (1,0) + b(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成R²的一个基。

• 更一般的说，给定自然数n。n个线性无关的向量e₁, e₂, ..., e_n可以在实数域上生成Rⁿ。因此，它们也是的一个基而Rⁿ的维度是n。这个基叫做Rⁿ的标准基。

• 设V是由函数e^t和e^2t生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了V的基。

• 设R[x]指示所有实数多项式的向量空间；则 (1, x, x², ...)是R[x]的基。R[x]的维度的势因此等于${\displaystyle \aleph _{0}}$.

标准基

在行向量空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中有单位行向量

${\displaystyle E_{(1)}=(1,0,...,0),E_{(2)}=(0,1,...,0),...,E_{(n)}=(0,0,...,1)}$

那么在该空间中，任意向量${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$,都可以唯一表示成${\displaystyle X=x_{1}E_{(1)}+x_{2}E_{(2)}+...+x_{n}E_{(n)}}$.然后我们可以看出，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$可以由它的向量子空间构成

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle =<E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}>}$.

同样的，单位列向量就可以表达为${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle =[E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}]}$.

线性无关的单位行向量${\displaystyle E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}$生成${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. 那么${\displaystyle {E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}}$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的基，称这个基为标准基.

基的扩张

如上所述，一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$是在向量空间${\displaystyle \mathrm {V} }$中的一个线性无关集合而集合${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$是一个包含${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$而且能够生成${\displaystyle \mathrm {V} }$的集合，则存在${\displaystyle \mathrm {V} }$的一组基${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$，它包含了${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$而且是${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$的子集：${\displaystyle {\mathfrak {L}}\subseteq {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {G}}}$。

以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那么元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。

有序基和坐标

基底是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。比如说将：${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}}$写成有序向量组：${\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})}$。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，称为向量的坐标。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。

设${\displaystyle \mathrm {V} }$是在域${\displaystyle \mathbb {F} }$上的n维向量空间。在${\displaystyle \mathrm {V} }$上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$到${\displaystyle \mathrm {V} }$的一个选定线性同构${\displaystyle \phi }$。

证明：这个证明利用了${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$的标准基是有序基的事实。

首先假设

${\displaystyle \phi :\;\;\mathbb {F} ^{n}\rightarrow \mathrm {V} }$是线性同构。可以定义${\displaystyle \mathrm {V} }$的一组有序基${\displaystyle \{v_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n}}$如下：

${\displaystyle v_{i}=\phi (e_{i}),\;\;\forall i,\;1\leqslant i\leqslant n.}$

其中的${\displaystyle \{e_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n}}$是${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$的标准基。

反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射

φ(x) = x₁v₁ + x₂v₂ + ... + x_nv_n,

这里的x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n是Fⁿ的一个元素。不难检查出φ是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构Fⁿ → V。

确定自有序基{v_i}线性映射φ的逆映射为V装备了坐标：如果对于向量v ∈ V, φ^-1(v) = (a₁, a₂,...,a_n) ∈ Fⁿ，则a_j = a_j(v)的分量是v的坐标，在v = a₁(v) v₁ + a₂(v) v₂ + ... + a_n(v) v_n的意义上。

从向量v到分量a_j(v)的映射是从V到F的线性映射，因为φ^-1是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V的对偶空间的基，叫做对偶基。

参考文献

1. 柯斯特利金.代数学引论（第二版）[M]高等教育出版社:53
2. Lang, Serge. Linear algebra. Berlin: New York: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0-387-96412-6.

参见

• 线性代数
• 线性组合

外部链接

• MIT Linear Algebra Lecture on Bases （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Google Video, from MIT OpenCourseWare