喬丹–維格納變換

Jordan–Wigner 变换可用于将自旋算符映射到费米子的产生和湮灭算符。一维晶格模型由 Pascual Jordan 与 Eugene Wigner 提出，当前亦得到二维模型的类似变换。 通过把自旋算符变换为费米子的产生湮灭算符，继而在费米子基矢中作对角化，Jordan–Wigner 变换经常用于精确求解 1D 自旋链，例如伊辛模型和 XY 模型。

此变换证明一维空间至少在有些情况下， 自旋-1/2 粒子与费米子不可区别。

自旋与费米子类比

接下来证明如何从一维自旋-1/2粒子构成的自旋链映射到费米子.

将自旋-1/2泡利算符作用到1D链的上的第j个晶座，${\displaystyle \sigma _{j}^{+},\sigma _{j}^{-},\sigma _{j}^{z}}$. 选取 反对易算符 ${\displaystyle \sigma _{j}^{+}}$ and ${\displaystyle \sigma _{j}^{-}}$, 可以发现 ${\displaystyle \{\sigma _{j}^{+},\sigma _{j}^{-}\}=1}$, 这些可从费米子的产生湮灭算符中得到。我们可以尝试，

${\displaystyle \sigma _{j}^{+}=(\sigma _{j}^{x}+i\sigma _{j}^{y})/2=f_{j}^{\dagger }}$

${\displaystyle \sigma _{j}^{-}=(\sigma _{j}^{x}-i\sigma _{j}^{y})/2=f_{j}}$

${\displaystyle \sigma _{j}^{z}=2f_{j}^{\dagger }f_{j}-1.}$

这样，可以得到同晶格上费米子关系 ${\displaystyle \{f_{j}^{\dagger },f_{j}\}=1}$, 但对不同的晶格，有关系 ${\displaystyle [f_{j}^{\dagger },f_{k}]=0}$, 其中 ${\displaystyle j\neq k}$, 如此不同晶格上的自旋的对易关系不同于反对易的费米子。人们必须弥补这个问题。

Jordan–Wigner 变换

能够恢复从自旋算符到真正费米子对易关系的变换于1928由 Jordan 和 Wigner 提出^[1]。此为 Klein 变换的特殊情况。考虑费米子链，定义一组新算符

${\displaystyle a_{j}^{\dagger }=e^{+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}f_{j}^{\dagger }}$

${\displaystyle a_{j}=e^{-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}f_{j}}$

${\displaystyle a_{j}^{\dagger }a_{j}-{\frac {1}{2}}=f_{j}^{\dagger }f_{j}-{\frac {1}{2}}.}$

与之前的定义相差一个相 ${\displaystyle e^{\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}}$。此相与场模 ${\displaystyle k=1,\ldots ,j-1}$ 下占据的费米子数有关。如果占有模数为偶，此相等于 ${\displaystyle +1}$； 占有模数为奇，相为 ${\displaystyle -1}$。表示为

${\displaystyle e^{\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}=\prod _{k=1}^{j-1}e^{\pm i\pi f_{k}^{\dagger }f_{k}}=\prod _{k=1}^{j-1}(1-2f_{k}^{\dagger }f_{k}).}$

最后一个等式使用了 ${\displaystyle f_{k}^{\dagger }f_{k}=0,1.}$

这样，变换后的自旋算符具有正确的费米子对易关系

${\displaystyle \{a_{i}^{\dagger },a_{j}\}=\delta _{i,j},\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=0,\{a_{i},a_{j}\}=0.}$

逆变换为

${\displaystyle a_{j}^{\dagger }=e^{+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}}\sigma _{j}^{+}}$

${\displaystyle a_{j}=e^{-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}}\sigma _{j}^{-}}$

${\displaystyle a_{j}^{\dagger }a_{j}=\sigma _{j}^{z}+{\frac {1}{2}}.}$

另见

• Klein transformation
• S-duality
• Michael Nielsen: Notes on Jordan-Wigner Transformation（页面存档备份，存于互联网档案馆）

参考文献

1. P. Jordan and E. Wigner, Über das Paulische Äquivalenzverbot, Zeitschrift für Physik 47, No. 9. (1928), pp. 631-651.