Set packing

Set packing 问题是复杂性理论和组合数学中一个经典的NP完全问题，是卡普的二十一個NP-完全問題之一。

题目描述

给定一个有限集合 S 和一些 S 的子集，求问是否可以其中的 k 个子集，他们两两不相交。

形式化的定义：给定全集${\displaystyle {\mathcal {U}}}$，和${\displaystyle {\mathcal {U}}}$的一组子集${\displaystyle {\mathcal {S}}}$。packing指一个集合${\displaystyle {\mathcal {C}}}$满足${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {S}}}$且${\displaystyle {\mathcal {C}}}$中任意两个集合互不相交。定义${\displaystyle |{\mathcal {C}}|}$为packing的大小。

对于 set packing 的決定性問題，输入是 ${\displaystyle ({\mathcal {U}},{\mathcal {S}})}$ 对和一个整数 ${\displaystyle k}$，求是否存在一个大小至少为${\displaystyle k}$的 packing 。对于 set packing 的最优性問題，输入是 ${\displaystyle ({\mathcal {U}},{\mathcal {S}})}$ 对，求最大的 packing 。