Arithmetic IF

count++) x &= x-1; return count; } //This is better if most bits in x are 0. //It uses 2 arithmetic operations and one comparison/branch per "1" bit in

For an integer q ≥ 1, a Dirichlet character modulo q is an arithmetic function（英语：arithmetic function） χ : Z → C {\textstyle \chi :\mathbb {Z} \to \mathbb

個簡短的證明。它從此成為逆向數學（英語：reverse math）中的一個突出例子，作為在 ATR0 內無法證明的陳述（算術超限遞歸（英語：arithmetic transfinite recursion）的一種形式）和有限（英語：finitary）應用該定理給出了快速增長的TREE 函數的存在性。

{ 0 if  n ≤ 1 ; 1 + log ∗ ⁡ ( log ⁡ n ) if  n > 1 {\displaystyle \log ^{*}n:={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n\leq 1;\\1+\log ^{*}(\log n)&{\mbox{if }}n>1\end{cases}}}

) = lim ( ξ , η ) → ( x , y ) η − ξ ln ⁡ η − ln ⁡ ξ , = { 0 if  x = 0  or  y = 0 , x if  x = y , y − x ln ⁡ y − ln ⁡ x otherwise, {\displaystyle