魏尔斯特拉斯-恩内佩尔曲面

在微分几何中，魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化（WE曲面、魏恩曲面、Weierstrauss-Enneper surfaces）是二维极小曲面^[1]的参数化。

它以恩内佩尔（Enneper）和魏尔斯特拉斯的名字命名。他们在1863年发现了这个参数化。

3D打印的魏恩曲面

设 f 是解析函数、g 是亚纯函数、fg² 是 全纯函数、c₁, c₂, c₃ 是常数。若(x₁,x₂,x₃)是曲面M的坐标以及

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=Re\left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=if(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}}$

则M是极小流形。^[2]逆命题也是事实：若曲面M有上面的参数化，则M是极小的。^[3]

比方说，恩内佩尔曲面具有 ${\displaystyle f(z)=1,\ g(z)=z^{m}}$。

Costa曲面（英语：Costa surface）使用魏爾斯特拉斯橢圓函數。^[2]

${\displaystyle g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}}$

${\displaystyle f(\omega )=\wp (\omega )}$

粒子

曲率线^[2]

参考文献

1. Hua, H. and Jia, T., 2018. Wire cut of double-sided minimal surfaces. The Visual Computer, 34(6-8), pp.985-995.
2. Sharma, R.: The weierstrass representation always gives a minimal surface. arXiv preprint

   arXiv:1208.5689

   (2012)
3. Dierkes, U., Hildebrandt, S., Küster, A., Wohlrab, O. Minimal surfaces, vol. I, p. 108. Springer 1992. ISBN 3-540-53169-6