餘式定理

多項式餘式定理（英語：Polynomial remainder theorem）是指一個多項式${\displaystyle P(x)}$除以一線性多項式${\displaystyle x-a}$的餘式是${\displaystyle P(a)}$。^[1]

定義

我們可以一般化多項式餘式定理。如果${\displaystyle {\frac {P(x)}{M(x)}}}$的商式是${\displaystyle Q(x)}$、餘式是${\displaystyle R(x)}$，那麼${\displaystyle P(x)=M(x)Q(x)+R(x)}$。其中${\displaystyle R(x)}$的次數會小於${\displaystyle M(x)}$的次數。例如，${\displaystyle {\frac {5x^{3}+4x^{2}-12x+1}{x-3}}}$的餘式是${\displaystyle 5\cdot 3^{3}+4\cdot 3^{2}-12\cdot 3+1=136}$。又可以說是把除式的零點代入被除式所得的值是餘式。

至於除式為2次以上時，可將n次除式的${\displaystyle n}$根${\displaystyle a,b,c,\cdots }$列出聯立方程：

${\displaystyle P(a)=R(a),P(b)=R(b),P(c)=R(c),\cdots }$

其中${\displaystyle P}$是被除式，${\displaystyle R}$是餘式。

此方法只可用在除式不是任一多項式的${\displaystyle n}$次方。

推导

多項式餘式定理可由多項式除法的定義導出.根据多項式除法的定義，设被除式為${\displaystyle f(x)}$，除式为${\displaystyle g(x)}$，商式为${\displaystyle q(x)}$，余式为${\displaystyle r(x)}$，则有：

${\displaystyle f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)}$

如果${\displaystyle g(x)}$是一次式${\displaystyle x-a}$，则${\displaystyle r(x)}$的次数小于一，因此，${\displaystyle r(x)}$只能为常数，这时，余式也叫余数，记为${\displaystyle r}$，即有：

${\displaystyle f(x)=(x-a)\cdot q(x)+r}$

根据上式，当${\displaystyle x=a}$时，有：

${\displaystyle f(a)=(a-a)\cdot q(a)+r=r}$

因此，我们得到了余式定理：多项式${\displaystyle f(x)}$除以${\displaystyle x-a}$所得的余式等于${\displaystyle f(a)}$。

參見

• 数学主题

• 中国剩余定理

1. 余式定理与因式定理. www.shuxuele.com. [2025-01-12].