霍普夫-里诺定理

数学中，霍普夫-里诺定理（Hopf–Rinow theorem）是关于黎曼流形的测地完备性的一套等价命题，以海因茨·霍普夫和他的学生维利·里诺命名。定理如下：

设M是黎曼流形，则下列命题等价：

1. ${\displaystyle M}$的有界闭子集是紧的。
2. ${\displaystyle M}$是完备度量空间。
3. ${\displaystyle M}$是测地完备：对${\displaystyle M}$中任意点${\displaystyle p}$，指數映射${\displaystyle \exp _{p}}$可定义在整个切空间${\displaystyle T_{p}M}$。

而且，以上任一条均可导出对于${\displaystyle M}$中任何两点${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$，存在连起两点的测地线使长度最短（测地线一般是极值，不一定是最小值）。

推广

霍普夫—里诺定理推广至长度度量空间如下：

若一长度度量空间${\displaystyle (M,d)}$是完备和局部紧，那么${\displaystyle M}$中任意两点可以用长度最短的测地线连起，${\displaystyle M}$的任意有界闭子集是紧的。

参考书目

• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-4267-2 See section 1.4.