离散余弦变换（英語：discrete cosine transform, DCT）是与傅里叶变换相关的一种变换，类似于离散傅里叶变换，但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的（因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数），在有些变形里面需要将输入或者输出的位置移动半个单位（DCT有8种标准类型，其中4种是常见的）。
2d DCT（type II） 與离散傅里叶变换的比較.
最常用的一种离散余弦变换的类型是下面给出的第二种类型，通常我们所说的离散余弦变换指的就是这种。它的逆，也就是下面给出的第三种类型，通常相应的被称为「反离散余弦变换」，「逆离散余弦变换」或者「IDCT」。
有两个相关的变换，一个是离散正弦变换，它相当于一个长度大概是它两倍的实奇函数的离散傅里叶变换；另一个是改进的离散余弦变换，它相当于对交叠的数据进行离散余弦变换。
离散余弦变换，尤其是它的第二种类型，经常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的「能量集中」特性：大多数的信号資訊（包括声音和图像）往往集中在离散余弦变换后的低频部分，而且当信号具有接近马尔可夫过程的统计特性时，离散余弦变换的去相关性接近于K-L变换（Karhunen-Loève变换——它具有最优的去相关性）的性能。
例如，在图像编码标准JPEG與視訊编码标准MJPEG和MPEG的各个标准中都使用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。这时对应第二种类型离散余弦变换中的n通常是8，并用该公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数矩阵。其中（0,0）位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分量。
一个类似的变换，改进的离散余弦变换被用在高级音频编码、Vorbis和MP3音频压缩当中。
离散余弦变换也经常被用来使用谱方法来解偏微分方程，这时候离散余弦变换的不同的变量对应着数组两端不同的奇/偶边界条件。
上面提到的DCT I~IV是和偶数阶的实偶DFT对应的。原则上，还有四种DCT变换（Martucci, 1994）是和奇数阶的实偶DFT对应的，它们在分母中都有一个
的系数。但是在实际应用中，这几种变型很少被用到。
最平凡的和奇数阶的实偶DFT对应的DCT是1阶的DCT（1也是奇数），可以说变换只是乘上一个系数
而已，对应于DCT-V的长度为1的状况。
尽管直接使用公式进行变换需要进行
次操作，但是和快速傅里叶变换类似，我们有复杂度为
的快速算法，这就是常常被称做蝶形变换的一种分解算法。另外一种方法是通过快速傅里叶变换来计算DCT，这时候需要
的预操作和后操作。
以下簡單介紹兩種利用DFT來計算DCT-II的方法
令輸入信號為
並將
以
在
處對稱表示
即
此時令
表示 
則之DFT為
將
做以下化簡
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y(m)&=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)W_{2N}^{nm}+\sum _{n=N}^{2N-1}y(n)W_{2N}^{nm}\\&=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)W_{2N}^{nm}+\sum _{n=N}^{2N-1}x(2N-n-1)W_{2N}^{nm}\\&=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)W_{2N}^{nm}+\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_{2N}^{(2N-n-1)m}\\&=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)[W_{2N}^{nm}+W_{2N}^{-(n+1)m}],\,\,\,\,m=0,1,...,2N-1\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abda1508abd8131cfdf0ead339d2e8ccb25e76d3)
此時兩側同乘 
可得![{\displaystyle {\frac {1}{2}}W_{2N}^{m/2}Y(m)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\cos {[(2n+1){\frac {m\pi }{2N}}]},\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,N-1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83aaceb18610aa434da0e81a9222b764ab548eb3)
此時右式即為欲求之DCT轉換，而左式可藉由2N點數的DFT來計算，使用快速演算法的情況下，運算之時間複雜度為
第二個方法由Narasimha與Peterson在1978年提出，此方法係藉由巧妙的編排來達成，首先令
並且 
此時X(m)可化簡為
![{\displaystyle X(m)=\sum _{n=0}^{N/2-1}y(n)\cos {[{\frac {(4n+1)m\pi }{2N}}]}+\sum _{n=0}^{N/2-1}y(N-n-1)\cos {[{\frac {(4n+3)m\pi }{2N}}]},\,\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,N-1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13bd2a870d9a890cddc9afead1f3520404065b23)
令第二項之
改為 
，則兩式可合併為
![{\displaystyle X(m)=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\cos {[{\frac {(4n+1)m\pi }{2N}}]},\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,N-1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5000b8dd3f9f5a87e007bac41825f1c7039f8629)
右側為對之N點的scaled DFT
因此，![{\displaystyle X(m)=Re[Z(m)]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6eb2d460dd9505c88b7b75fd6542191a7f8b3c)
，其中
其中 是對之N點的DFT，並且可以簡單的驗證
具有如下性質
而因 為實數輸入，
因此欲求之 ，![{\displaystyle X(N-m)=-Im[Z(m)],\,\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,{\frac {N}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fcda8f8432607bad5d2bf84ada4050a63f78f7)
在使用FFT快速演算法的情況下，運算之時間複雜度同樣為
但此方法較方法一直接運算2N點數的DFT快上約2倍。
- K. R. Rao and P. Yip, 离散余弦变换：算法、优点和应用（Discrete Cosine Transform: Algorithms, Advantages, Applications） (Academic Press, Boston, 1990).
- A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and J. R. Buck, 时间离散信号处理 (Discrete-Time Signal Processing), second edition (Prentice-Hall, New Jersey, 1999).
- S. A. Martucci, 对称卷积和离散正弦余弦变换 (Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms), IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994).
- Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）. 一个免费的C语言库GPL，可以计算DCT-I~IV的1维到多维的任意大小的变换
- M. Frigo and S. G. Johnson, "FFTW3的设计和实现 （页面存档备份，存于互联网档案馆）," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005).
- On the Computation of the Discrete Cosine Transform. (1978, June 1). IEEE Journals & Magazine | IEEE Xplore. https://ieeexplore.ieee.org/document/1094144 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- ^ 引用错误：没有为名为
Luo的参考文献提供内容
- ^ 4.0 4.1 引用错误：没有为名为
Stankovic的参考文献提供内容
- ^ 引用错误：没有为名为
Britanak的参考文献提供内容
- ^ 6.0 6.1 引用错误：没有为名为
Hersent的参考文献提供内容
- ^ 7.0 7.1 引用错误：没有为名为
AppleInsider standards 1的参考文献提供内容
Rao, R. K., & Yip, P. (1990). Discrete Cosine Transform: Algorithms, Advantages, Applications (1st ed.). Academic Press.
![{\displaystyle f_{m}={\frac {1}{2}}(x_{0}+(-1)^{m}x_{n-1})+\sum _{k=1}^{n-2}x_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{n-1}}mk\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adba25d70ecec4b6462895cf799fc13e56176b3)
![{\displaystyle f_{m}=\sum _{k=0}^{n-1}x_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{n}}m\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ebd9c1833db5ff969647c08e457e6610c64ea5)
![{\displaystyle f_{m}={\frac {1}{2}}x_{0}+\sum _{k=1}^{n-1}x_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{n}}\left(m+{\frac {1}{2}}\right)k\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76638588e1147b8fc711540c774cd1bb4e78c17)
![{\displaystyle f_{m}=\sum _{k=0}^{n-1}x_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{n}}\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b77d88880a3542cd2ccbe9d7ca5fe7714edc82a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y(m)&=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)W_{2N}^{nm}+\sum _{n=N}^{2N-1}y(n)W_{2N}^{nm}\\&=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)W_{2N}^{nm}+\sum _{n=N}^{2N-1}x(2N-n-1)W_{2N}^{nm}\\&=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)W_{2N}^{nm}+\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_{2N}^{(2N-n-1)m}\\&=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)[W_{2N}^{nm}+W_{2N}^{-(n+1)m}],\,\,\,\,m=0,1,...,2N-1\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abda1508abd8131cfdf0ead339d2e8ccb25e76d3)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}W_{2N}^{m/2}Y(m)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\cos {[(2n+1){\frac {m\pi }{2N}}]},\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,N-1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83aaceb18610aa434da0e81a9222b764ab548eb3)
![{\displaystyle X(m)=\sum _{n=0}^{N/2-1}y(n)\cos {[{\frac {(4n+1)m\pi }{2N}}]}+\sum _{n=0}^{N/2-1}y(N-n-1)\cos {[{\frac {(4n+3)m\pi }{2N}}]},\,\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,N-1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13bd2a870d9a890cddc9afead1f3520404065b23)
![{\displaystyle X(m)=\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\cos {[{\frac {(4n+1)m\pi }{2N}}]},\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,N-1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5000b8dd3f9f5a87e007bac41825f1c7039f8629)
![{\displaystyle X(m)=Re[Z(m)]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6eb2d460dd9505c88b7b75fd6542191a7f8b3c)
![{\displaystyle X(N-m)=-Im[Z(m)],\,\,\,\,\,\,\,m=0,1,...,{\frac {N}{2}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fcda8f8432607bad5d2bf84ada4050a63f78f7)
