雞爪定理:三條紅色線段等長
設
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
為任意三角形 ,
I
{\displaystyle I}
為其內心 ,
∠
A
B
C
{\displaystyle \angle ABC}
的角平分線
B
I
{\displaystyle BI}
交外接圓
⊙
A
B
C
{\displaystyle \odot ABC}
於
D
{\displaystyle D}
。定理斷言,
D
{\displaystyle D}
到
A
,
C
,
I
{\displaystyle A,C,I}
三點等远,即
D
A
=
D
C
=
D
I
{\displaystyle DA=DC=DI}
。
等價的說法有:
過
A
,
C
,
I
{\displaystyle A,C,I}
三點的圓,圓心位於
D
{\displaystyle D}
。這尤其說明該圓的圓心在於原三角形的外接圓上。[ 3] [ 4]
諸三角形
A
I
D
,
C
I
D
,
A
C
D
{\displaystyle AID,CID,ACD}
皆為等腰 ,
D
{\displaystyle D}
為其頂角。
還有第四點
I
B
{\displaystyle I_{B}}
也到
D
{\displaystyle D}
等遠,就是
B
{\displaystyle B}
所對的旁心 。在以
D
{\displaystyle D}
為圓心的圓上,
I
B
{\displaystyle I_{B}}
與
I
{\displaystyle I}
互為對徑點 ,即
D
{\displaystyle D}
為
I
I
B
{\displaystyle II_{B}}
的中點 。[ 5] [ 6]
定理適用於解決以下問題:已知某三角形的一個頂點
B
{\displaystyle B}
、內心
I
{\displaystyle I}
和外心
O
{\displaystyle O}
,求作該三角形。作法如下:
以
O
{\displaystyle O}
為圓心,
O
B
{\displaystyle OB}
為半徑,作圓。此為三角形的外接圓。
作直線
B
I
{\displaystyle BI}
,與外接圓交於(
B
{\displaystyle B}
以外的另一點)
D
{\displaystyle D}
。
以
D
{\displaystyle D}
為圓心,
D
I
{\displaystyle DI}
為半徑作圓,定理保證所得的圓過另兩個頂點
A
,
C
{\displaystyle A,C}
。
所以,該圓與外接圓的交點
A
,
C
{\displaystyle A,C}
即為所求。[ 7]
然而,並非在平面上任意取三點作為
B
,
I
,
O
{\displaystyle B,I,O}
皆有對應的三角形。若以上作法不能給出三角形,則問題可能出在
I
B
{\displaystyle IB}
與
⊙
O
{\displaystyle \odot O}
相切,也可能在於最後兩圓相切 或外離 。而且,若
B
,
I
,
O
{\displaystyle B,I,O}
三點無任何限制,則即使作法確實給出三角形,
I
{\displaystyle I}
亦不必為其內心,可能是旁心。該些情況下,不存在三角形以
B
{\displaystyle B}
為頂點,
I
{\displaystyle I}
為內心、
O
{\displaystyle O}
為外心。(對於固定的
B
,
O
{\displaystyle B,O}
兩點,若要存在此種三角形,則
I
{\displaystyle I}
必須位於以
B
{\displaystyle B}
為尖點關於
⊙
O
{\displaystyle \odot O}
作成的心臟線 圍成的區域中。)[ 8]
其他構作三角形的問題,如給定頂點、內心、九點圓心 ,求作三角形,有部分情況可化歸為前述問題解決,但一般而言無法尺規作出 。[ 8]
本定理有許多不同的名稱。「雞爪定理」得名自
D
A
,
D
I
,
D
C
{\displaystyle DA,DI,DC}
諸線段組成的幾何圖形。同樣,俄文稱為лемма о трезубце [ 9] [ 5] ,謂三叉 引理,或теорема трилистника [ 10] ,謂三葉草 定理。英文又稱theorem of trillium 「延齡草 定理」,亦是以某種三葉植物命名。
定理亦有其他名稱並非來自該形狀,如「內心/旁心引理」(the incenter/excenter lemma )。[ 2]
Morris, Richard, Circles through notable points of the triangle [過三角形特殊點的圓], The Mathematics Teacher , 1928, 21 (2): 63–71, JSTOR 27951001 , doi:10.5951/MT.21.2.0069 (英语) . 尤其見p. 65處關於諸圓
B
I
C
,
C
I
A
,
A
I
B
{\displaystyle BIC,CIA,AIB}
及圓心的討論。
Aref, M. N.; Wernick, William, Problems and Solutions in Euclidean Geometry [歐氏幾何問題及解答] , Dover Books on Mathematics, Dover Publications, Inc., 3.3(i), p. 68, 1968 [2021-12-12 ] , ISBN 9780486477206 , (原始内容存档 于2021-12-12) (英语) .