雅可比符号

在数论中，雅可比符号是勒让德符号的一种推广，首先由普鲁士数学家卡尔·雅可比在1837年引进^[1]。雅可比符号在数论中的各个分支中都有应用，尤其是在计算数论的素性检验、大数分解以及密码学中有重要作用。

定义

勒让德符号${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$是对于所有的正整数 ${\displaystyle a}$ 和所有的素数 ${\displaystyle p}$ 定义的。

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0\\+1\\-1\end{cases}}}$	如果p整除a；
	如果存在整数 ${\displaystyle X}$ 使得 ${\displaystyle X^{2}\equiv a{\pmod {p}}}$ 且p不整除a
	如果不存在整数 ${\displaystyle X}$ 使得 ${\displaystyle X^{2}\equiv a{\pmod {p}}}$

.

；

.

.

当${\displaystyle ({\frac {a}{p}})=1}$ 时，稱${\displaystyle a}$ 是模${\displaystyle p}$的二次剩餘；当${\displaystyle ({\frac {a}{p}})=-1}$ 时，稱${\displaystyle a}$ 是模${\displaystyle p}$的二次非剩餘。

运用勒让德符号计算时要将 ${\displaystyle a}$ 分解成标准形式，计算上十分麻烦，因此产生了雅可比符号：

设 ${\displaystyle m}$ 是一个正奇数，其质因数分解式为 ${\displaystyle m=\prod _{i=1}^{s}p_{i}}$，并且正整数 ${\displaystyle a}$ 满足 ${\displaystyle (m,a)=1}$ 那么定义${\displaystyle ({\frac {a}{m}})=\prod _{i=1}^{s}({\frac {a}{p_{i}}})}$。

参见

• 克罗内克符号，将雅可比符号推广到任意自然数上。

注释

1. C.G.J.Jacobi "Uber die Kreisteilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie", Bericht Ak. Wiss. Berlin (1837) pp 127-136

参考来源

• Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), Cambridge: The MIT Press, 1996, ISBN 9780262024051

• Lemmermeyer, Franz, Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, 2000, ISBN 9783540669579

• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, 1990, ISBN 0-387-97329-X

• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8

• Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549

外部链接

• Calculate Jacobi symbol gives a display like the ones in the examples.