不连续点

此條目介紹的是实变函数的不连续点的分类。关于复变函数的奇点的分类，请见「奇点_(数学)」。

不连续点，又称间断点，分段点（英語：Discontinuities），通常是在單變數實变函數的環境下討論。令${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ,~f:E\to \mathbb {R} }$，且若${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$(不一定要在${\displaystyle E}$中)，若${\displaystyle f}$在${\displaystyle c}$不連續，則稱${\displaystyle f}$在那裡有個不連續點、${\displaystyle c}$為一個${\displaystyle f}$的不連續點。

分类

根据不同不连续点的性质，通常把不连续点分为两类：

1. 第一类不连续点：
   1. 可去不连续点：不连续点两侧函数的极限存在且相等 。
   2. 跳跃不连续点：不连续点两侧函数的极限存在，但不相等；
2. 第二类不连续点：

不属于第一类不连续点的任何一种不连续点都属于第二类不连续点。第二类不连续点可以进一步分为无穷不连续点和震荡不连续点。

例子

可去不连续点

1. 考虑以下函数：

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-x&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

点${\displaystyle x_{0}=1}$是可去不连续点。

跳跃不连续点

2. 考虑以下函数：

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

点${\displaystyle x_{0}=1}$是跳跃不连续点。

第二类不连续点

3. 考虑以下函数：

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

点${\displaystyle x_{0}=1}$是第二类不连续点，又称本性不连续点。

外部链接

• Discontinuous. PlanetMath.
• "Discontinuity" （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• 埃里克·韦斯坦因. Discontinuity. MathWorld.