辛矩陣

在數學中，扭對稱矩阵是指一個${\displaystyle 2n\times 2n}$的矩阵M（通常佈於實數或複數域上），使之滿足

${\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega \,}$。

其中${\displaystyle M^{T}}$表${\displaystyle M}$的轉置矩陣，而${\displaystyle \Omega }$是一個固定的可逆斜對稱矩陣；這類矩陣在適當的變化後皆能表為

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}}$

或

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

兩者的差異僅在於基的置換，其中${\displaystyle I_{n}}$是${\displaystyle n\times n}$ 單位矩陣。此外，${\displaystyle \Omega }$ 行列式值等於一，且其逆矩陣等於${\displaystyle -\Omega }$。

性質

凡扭對稱矩阵皆可逆，其逆矩陣可表為

${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{T}\Omega }$

其中，反對稱矩陣${\displaystyle \Omega }$具有如下運算性質：

${\displaystyle \Omega ^{T}=-\Omega =\Omega ^{-1}\,\!}$ ,

${\displaystyle \Omega ^{T}\Omega =\Omega \Omega ^{T}=I_{2n}\,\!}$ ,

${\displaystyle \Omega \Omega =-I_{2n}\,\!}$ ,

${\displaystyle det(\Omega )=1\,\!}$ 。

此外，扭對稱矩阵構成的集合在矩陣乘法下封閉，因此一個域${\displaystyle F}$上的所有${\displaystyle 2n}$階扭對稱矩阵構成一個群，記為${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}$。事實上它是${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,F)}$的閉代數子群，其維度為${\displaystyle n(2n+1)}$。當${\displaystyle F=\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$時，${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}$帶有自然的（複）李群結構。

由定義可知扭對稱矩阵的行列式等於${\displaystyle \pm 1}$；事實上，可以利用普法夫值的公式：

${\displaystyle {\mbox{Pf}}(M^{T}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega )}$。

由於${\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega }$、${\displaystyle {\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0}$，遂導出${\displaystyle det(M)=1}$。

當${\displaystyle n=1}$時，有${\displaystyle \mathrm {Sp} (2)=\mathrm {SL} (2)}$。換言之：二階扭對稱矩陣即行列式等於一的二階矩陣。

扭對稱變換

在線性代數的抽象框架裡，我們可以用偶數維向量空間${\displaystyle V}$上的線性變換取代偶數階矩陣，並固定一個非退化反對稱雙線性形${\displaystyle \omega :V\times V\to F}$以取代矩陣${\displaystyle \Omega }$（賦有這類雙線性形的空間稱為扭對稱向量空間），如此便得到與基底無關的定義：

定義。一個扭對稱向量空間${\displaystyle (V,\omega )}$上的線性變換${\displaystyle L:V\to V}$若滿足

${\displaystyle \omega (Lu,Lv)=\omega (u,v)}$。

則稱${\displaystyle L}$為扭對稱變換。

考慮${\displaystyle \eta :=\wedge ^{\frac {\dim V}{2}}\omega }$，由於${\displaystyle L^{*}(\omega )=\omega }$，故${\displaystyle L^{*}(\eta )=\eta }$；另一方面，${\displaystyle L^{*}(\eta )=(\det L)\cdot \eta }$，於是得到${\displaystyle \det L=1}$。由此導出扭對稱變換之行列式值等於一。

固定${\displaystyle V}$的一組基，藉此將${\displaystyle L}$寫成矩陣${\displaystyle M}$，並將${\displaystyle \omega }$表成斜對稱矩陣${\displaystyle \Omega }$，便回到先前的定義：

${\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega }$。

相關條目

• 辛標記
• 辛向量空間
• 辛群
• 辛表示（英语：Symplectic representation）
• 正交矩陣
• 幺正矩陣
• 哈密頓力學
• 正則變換

外部連結

• Symplectic matrix. PlanetMath.
• The characteristic polynomial of a symplectic matrix is a reciprocal polynomial. PlanetMath.