辐角原理

在复分析中，辐角原理（Argument principle）或称柯西辐角原理（Cauchy's argument principle）说如果 ${\displaystyle f(z)}$ 是在某个围道 ${\displaystyle C}$ 上以及内部一个亚纯函数，且 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle C}$ 上没有零点或极点，则下列公式成立

${\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi \mathrm {i} (N-P)}$

围道 ${\displaystyle C}$（黑色），${\displaystyle f}$ 的零点（蓝色）以及 ${\displaystyle f}$ 的极点（红色）。

这里 ${\displaystyle N}$ 与 ${\displaystyle P}$ 分别表示 ${\displaystyle f(z)}$ 在围道 ${\displaystyle C}$ 内部的零点与极点个数，每个零点计重数，极点计阶数。定理的陈述假设围道 ${\displaystyle C}$ 是简单的，即没有自交，以及它是逆时针方向定向的。

更一般地，假设 ${\displaystyle C}$ 是一条曲线，逆时针方向定向，在复平面中一个开集 ${\displaystyle \Omega }$ 中可缩为一点。对每个 ${\displaystyle z\in \Omega }$，令 ${\displaystyle n(C,z)}$ 是 ${\displaystyle C}$ 绕点 ${\displaystyle z}$ 的卷绕数。则

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=2\pi \mathrm {i} \left(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\right),}$

这里第一个求和对 ${\displaystyle f}$ 所有零点 ${\displaystyle a}$ 进行并计重数，第二个求和在 ${\displaystyle f}$ 的所有极点 ${\displaystyle b}$ 上进行并计重数。

证明

设 ${\displaystyle z_{N}}$ 是 ${\displaystyle f}$ 的一个零点。我们可将 ${\displaystyle f}$ 写成 ${\displaystyle f(z)=(z-z_{N})^{k}g(z)}$ 这里 ${\displaystyle k}$ 是零点${\displaystyle z_{N}}$的重数，从而 ${\displaystyle g(z_{N})\neq 0}$。我们有

${\displaystyle f'(z)=k(z-z_{N})^{k-1}g(z)+(z-z_{N})^{k}g'(z)\,\!}$

以及

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{N}}+{g'(z) \over g(z)}.}$

因 ${\displaystyle g(z_{N})\neq 0}$， ${\displaystyle {\frac {g'(z)}{g(z)}}}$在 ${\displaystyle z_{N}}$ 没有奇点，从而在 ${\displaystyle z_{N}}$ 解析，这意味着 ${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}$ 在 ${\displaystyle z_{N}}$ 的留数是 ${\displaystyle k}$。

设 ${\displaystyle z_{P}}$ 是 ${\displaystyle f}$ 的一个极点。我们可写成 ${\displaystyle f(z)=(z-z_{P})^{-m}h(z)}$ 这里 ${\displaystyle m}$ 是极点${\displaystyle z_{P}}$的阶数，从而 ${\displaystyle h(z_{P})\neq 0}$。我们有

${\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.}$

以及

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}}$

因为 ${\displaystyle h(z_{P})\neq 0}$， ${\displaystyle {\frac {h'(z)}{h(z)}}}$ 在 ${\displaystyle z_{P}}$ 没有奇点，从而在 ${\displaystyle z_{P}}$ 解析。我们发现 ${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}$ 在 ${\displaystyle z_{P}}$ 的留数是 ${\displaystyle -m}$。

将它们放在一起，${\displaystyle f}$ 的每个 ${\displaystyle k}$ 重零点 ${\displaystyle z_{N}}$ 产生 ${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}$ 的一个留数为 ${\displaystyle k}$ 的单极点，而 ${\displaystyle f}$ 的每个 ${\displaystyle m}$ 阶极点 ${\displaystyle z_{P}}$ 产生 ${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}$ 的一个留数为 ${\displaystyle -m}$ 的单极点（这里一个单极点指一阶极点）。另外，可以证明 ${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}$ 没有其它极点，从而没有其它留数。

由留数定理我们有关于 ${\displaystyle C}$ 的积分是 ${\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }$ 与这些留数之和的乘积。总之，每个零点 ${\displaystyle z_{N}}$ 的 ${\displaystyle k}$ 之和是计重数的零点个数，对极点类似，故我们得到了欲证之结论。

推论

假设 ${\displaystyle C}$ 是一个以原点为中心的闭围道，通过考虑 ${\displaystyle f(z)}$ 关于 ${\displaystyle 0}$ 的卷绕数可得出一些推论。我们看到 ${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}$ 在 ${\displaystyle C}$ 上的积分是 ${\displaystyle \log f(z)}$ 值的变化。因为 ${\displaystyle C}$ 是闭的我们只需考虑 ${\displaystyle {\arg f(z)}\cdot \mathrm {i} }$ 在 ${\displaystyle C}$ 上的变化，它将是 ${\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }$ 的某个整数倍（但可能绕原点卷多圈）。但从辐角原理

${\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi \mathrm {i} (N-P)}$

约去因子 ${\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }$，我们得到

${\displaystyle N-P=I(C,0)}$

这里 ${\displaystyle I(C,0)}$ 表示 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle C}$ 上关于 ${\displaystyle 0}$ 的卷绕数，且有${\displaystyle I(C,0)=\sum _{a}n(C,a)}$，（这里的求和对 ${\displaystyle f}$ 所有零点 ${\displaystyle a}$ 进行并计重数）。

一个推论是更广泛的定理，在同样的假设下，如果 ${\displaystyle g}$ 是 ${\displaystyle \Omega }$ 中一个解析函数，则

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).}$

例如，如果 ${\displaystyle f}$ 是以一个简单围道 ${\displaystyle C}$ 内部 ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{p}}$ 为零点的多项式，以及${\displaystyle g)z)=z^{k}}$，则

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\dots +z_{p}^{k},}$

是 ${\displaystyle f}$ 的根的次方和對稱多項式。

另一个推论是如果我们计算复积分：

${\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz,}$

对一个合适的${\displaystyle f}$，我们有阿贝尔-普兰纳公式（英语：Abel–Plana_formula）：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt,}$

这给出了一个离散和式与它的积分之间的关系。

历史

按照弗兰克·史密西斯一书（Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997）的说法，在奥古斯丁·路易·柯西从法国到都灵（当时皮德蒙特-萨丁尼亚王国的首都）的自我放逐途中，柯西于1831年11月2日提出了和上面类似的一个定理（见177页）。但是根据此书，只提到了零点，没有极点。柯西的这个定理在许多年后的1974年才以手写本发表，故很难阅读。柯西逝世两年前的1855年发表的一篇论文中，零点与极点都讨论了。定理 1 只涉及了零点。柯西1855年论文中的定理 2 说“一个单复变量函数 Z 的对数计量（compteurs logarithmiques，相当于现代教材中的对数留数）等于 Z 与 1/Z 根的个数之差（相当于现代教材中的函数 Z 的零点与极点）。从而现代“辐角原理”可在1855年柯西论文中作为一个定理发现。

应用

反馈控制理论的现代书籍中频繁用到辐角原理，将其作为奈奎斯特稳定性判据的理论基础。哈里·奈奎斯特1932年原理的论文（H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932）用一种相当笨拙与原始的方法得出奈奎斯特稳定性判据。在这篇论文中，奈奎斯特完全没有提到柯西的名字。后来，Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 与 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都从辐角原理得到了奈奎斯特稳定性判据。MacColl (Bell Laboratories) 将辐角原理称为柯西定理。这样辐角原理在纯粹数学与控制工程学中都有重大影响。现在，辐角原理可在复分析或控制工程学的现代教材中都可以找到。

参考文献

• Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Argument Principle. MathWorld.
• Module for the Argument Principle by John H. Mathews
• An Illustration of the Argument Principle （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Keith Schneider, The Wolfram Demonstrations Project.

相关条目

• 儒歇定理
• 路径积分
• 奈奎斯特稳定性判据
• 奥古斯丁·路易·柯西