费马大定理

費馬大定理（亦名费马最後定理，法語：Le dernier théorème de Fermat，英語：Fermat's Last Theorem），其概要為：

当整數${\displaystyle n>2}$时，关于${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$的不定方程

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$

無正整數解。

关于以皮埃尔·德·费马命名的其他定理，请见「费马定理」。

以上陳述由17世纪法国数学家费马提出，被稱為「费马猜想」，直到英國數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒於1995年將他們的證明出版後，才稱為「費馬最后定理」。這個猜想最初出現費馬的《頁邊筆記》中。儘管費馬表明他已找到一個精妙的證明而頁邊没有足夠的空位寫下，但仍然經過數學家們三個多世紀的努力，猜想才變成定理。在衝擊這個数论世紀难题的過程中，無論是不完全的還是最後完整的證明，都給數學界帶來很大的影響；很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅瓦理論和赫克代數等。這也令人懷疑當初費馬是否真的找到正確證明。而安德魯·懷爾斯由於成功證明此定理，獲得包括邵逸夫獎在内的数十个奖项。

歷史

丢番圖拉丁文譯本第11卷第8命题

1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：

“

将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信我发现一种美妙的证法，可惜这里的空白處太小，写不下[註 1]。

”

畢竟費馬沒有寫下证明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激发许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富数论的内容，推动数论的发展。

欧拉在1770年的时候，证明${\displaystyle n=3}$时定理成立。^[1]

1825年，高斯和热尔曼同时独立证明费马定理5次幂。

费马大定理提出之后的二百年內，對很多不同的特定的${\displaystyle n}$，費馬大定理被證明。但对于一般情況，人们仍一籌莫展。

1908年，德国人「保羅·弗里德里希·沃爾夫斯凱爾（英语：Paul Wolfskehl）」宣布以10万馬克作为奖金奖给在他逝世後一百年內，第一个证明该定理的人，吸引不少人嘗試並遞交他們的「證明」。在一戰之後，馬克大幅貶值，該奖金的吸引力也大幅下降。

1983年，格尔德·法尔廷斯證明莫德尔猜想。作为推论，对于给定的整数${\displaystyle n>2}$，至多存在有限组互素的${\displaystyle a,b,c}$使得${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$。

1986年，格哈德·弗賴（Gerhard Frey）提出“ε-猜想”：若存在${\displaystyle a,b,c}$使得${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$，即如果費馬大定理是錯的，則橢圓曲線

${\displaystyle y^{2}=x\left(x-a^{n}\right)\left(x+b^{n}\right)}$

會是谷山-志村猜想的一個反例。格哈德·弗賴的猜想隨即被肯尼斯·阿蘭·黎貝證實。此猜想顯示費馬大定理与橢圓曲線及模形式的密切關係。

1995年，安德鲁·怀尔斯和理查·泰勒在一特例範圍内證明谷山志村猜想，弗賴的橢圓曲線剛好在這一特例範圍内，從而證明費馬大定理。

懷爾斯證明費馬大定理的過程亦甚具戲劇性。他用七年時間，在不為人知的情況下，得出證明的大部分；然後於1993年6月在一個學術會議上宣佈他的證明，並瞬即成為世界頭條。但在審查證明的過程中，專家發現一個極為嚴重的錯誤。懷爾斯和泰勒之後用近一年時間嘗試補救，終在1994年9月以一個之前懷爾斯拋棄過的方法得到成功，這部分的證明與岩澤理論有關。他們的證明刊在1995年的《数学年刊》（Annals of Mathematics）之上。

在怀尔斯证明之前，沃爾夫斯凱爾委員會（Wolfskehl committee）收到数千个不正确的证明，所有纸张叠加达到约10英尺（3米）的高度^{[2]（p. 295）}。仅在第一年（1907—1908年）就提出621個证明，但到了20世纪70年代，各家證明方法的提出已經降至每個月大约3-4個。根据沃爾夫斯凱爾委員會评论家施里希廷（F. Schlichting）的说法，大多数证明都是基于学校教授的基本方法，并且提交证明的人大多“有技术教育但职业生涯失败”^{[2]（pp. 120–125、131–133、295–296）[3]}。用数学历史学家霍华德·伊夫斯（英语：Howard Eves）的话来说，“费马大定理在数学里有一个特殊的现象，即在于它是错误证明数量最多的数学题。”^[4]

参见

• 索菲熱爾曼素數
• 維費里希素數
• 沃尔-孙-孙素数
• 沃尔斯滕霍尔姆素数
• 數學猜想列表
• 費馬-卡塔蘭猜想

註釋

1. 拉丁文原文：Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

參考資料

1. 用户1915054266. 怀尔斯用7年时间证明费马大定理，杀死一只会下金蛋的鹅. 快资讯. 2019-04-29 [2019-05-21]. （原始内容存档于2019-06-10） （中文（中国大陆））.
2. Singh 1997.
3. Aczel 1996，第70頁.
4. Koshy T. Elementary number theory with applications. New York: Academic Press. 2001: 544. ISBN 978-0-12-421171-1.

書籍

• Singh, Simon. Fermat's enigma : the quest to solve the world's greatest mathematical problem. New York: Walker. 1997. ISBN 0-8027-1331-9.
• Aczel, Amir. Fermat's last theorem : unlocking the secret of an ancient mathematical problem. New York: Four Walls Eight Windows. 1996. ISBN 978-1-56858-077-7.

論文

• Andrew Wiles. Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem (PDF). Annals of Mathematics 141. 1995: 443–551. （原始内容 (PDF)存档于2011-05-10）.
• R.Taylor; A.Wiles. Ring theoretic properties of certain Hecke algebras. Annals of Mathematics 141. 1995: 553–572. （原始内容存档于2004-12-04）.
• Gerd Faltings. The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles (PDF). Notices of the AMS. 1995-07. （原始内容存档 (PDF)于2019-09-12）.
• Charles Daney. The Mathematics of Fermat's Last Theorem. （原始内容存档于2004-08-03）.
• J J O'Connor; E F Robertson. Fermat's last theorem. （原始内容存档于2001-08-04）. The history of the problem.
• David Shay. Fermat's last theorem. （原始内容存档于2007-02-02）. The story and the history of the problem.

外部連結