西姆松定理

西姆松定理（或譯西摩松定理、西姆森定理）是幾何學中的一個定理，此定理描述：在平面中，給定一個三角形 ${\displaystyle ABC}$，以及 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 外接圓上的一點${\displaystyle P}$。則 ${\displaystyle P}$ 分別對直線 ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}$、${\displaystyle {\overleftrightarrow {BC}}}$、${\displaystyle {\overleftrightarrow {CA}}}$ 作的三個垂足（右圖中的 ${\displaystyle N}$、${\displaystyle L}$、${\displaystyle M}$）會共線。

藍線(LM)為三角形 ABC 關於其外接圓上點 P 的西姆松線

上述中的直線 ${\displaystyle {\overleftrightarrow {MNL}}}$ 稱為 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 關於 ${\displaystyle P}$ 點的西姆松線（英語：Simson line），或譯西摩松線、西姆森線。

逆定理

西姆松定理的逆敘述也是正確的，其描述：給定平面中的 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 及一點 ${\displaystyle P}$。若 ${\displaystyle P}$ 對 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 三邊延長線的三個垂足共線，則 ${\displaystyle P}$ 在 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 的外接圓上。

相關性質

• 令 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 的垂心為H。則 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 關於 ${\displaystyle P}$ 的西姆松線和 ${\displaystyle {\overline {PH}}}$ 的交點為 ${\displaystyle {\overline {PH}}}$ 的中點，且此中點在九點圓上。
• 兩點的西姆松線的交角等於該兩點的圓周角。
• 若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關。

西姆松定理與西姆松的關係

西姆松定理命名自蘇格蘭數學家 Robert Simson，然而西姆松是被誤認為定理的貢獻者^[1]，此定理實則由另一位蘇格蘭數學家威廉·華萊士所發表^[2]。

证明

如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有

角PBN = 角PLN = 角PLM = 角PCM

故A、B、P、C四点共圆。

若A、B、P、C四点共圆，则角PBN = 角PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有

角PLN = 角PBN = 角PCM = 角PLM

故L、M、N三点共线。

参见

• 外接圓
• 九点圆
• 垂足三角形

外部連結

• cut-the-knot網站上的證明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 證明（flash） （页面存档备份，存于互联网档案馆）

參考資料

1. THE WRITER OF THE NOTICE. Simson's Line. Nature. 30 October 1884 [2023-08-13]. doi:10.1038/030635a0.
2. William Wallace. MacTutor History of Mathematics archive.