衍射 （英語：Diffraction ），又稱绕射 ，是指波 遇到障碍物时偏离原来直线传播的物理现象。[ 1] :559-560
红色 激光 的圆孔衍射图样在古典物理学 中，波在穿过狭缝、小孔或圆盘之类的障碍物后會发生不同程度的弯散传播。假設將一个障碍物置放在光源和观察屏之间，則會有光亮区域與陰暗区域出現於观察屏，而且這些区域的边界並不銳利，是一种明暗相间的复杂图样。這现象称为衍射，當波在其传播路径上遇到障碍物时，都有可能發生这种现象。[ 1] :519 除此之外，当光波穿过折射率 不均匀的介质时，或当声波穿过声阻抗 不均匀的介质时，也会发生类似的效应。在一定条件下，不仅水波、光波能够产生肉眼可见的衍射现象，其他类型的电磁波 （例如X射线 和无线电波 等）也能够发生衍射。由於原子 尺度的實際物體具有類似波的性質，它們也會表现出衍射现象，可以通过量子力学 进行研究其性质。[ 2] [ 3] :9
在適當情况下，任何波都具有衍射的固有性质。然而，不同情况中波发生衍射的程度有所不同。如果障碍物具有多个密集分布的孔隙，就会造成较为复杂的衍射强度分布图样。这是因為波的不同部分以不同的路径传播到观察者的位置，发生波叠加 而形成的現象。
衍射的形式論还可以用來描述有限波（量度為有限尺寸的波）在自由空间 的传播情况。例如，激光 束的發散性質、雷达 天线的波束形状以及超声波传感器的视野范围都可以利用衍射方程来加以分析。
美国物理学 家、诺贝尔物理学奖 得主理查德·费曼 指出：[ 4] :30-1
“
没有人能够令人满意地定义干涉 和衍射的区别。这只是术语用途的问题，其实二者在物理上并没有什么特别的、重要的区别。
”
他还提到，如果只有少数的波源（例如两个的时候），我们称这现象为“干涉”，例如我们称杨氏双缝实验 实验中双缝所产生的两束光源产生了干涉现象。而当大量波源存在时，对应的过程被称作是“衍射”。在实际情况中，衍射和干涉往往是同时出现的。有文献这样总结：干涉是有限多个波束“相加”的结果，而衍射则是无限多个波束“积分”的结果。[ 5]
意大利 物理學者弗朗西斯科·格里马第（1618-1663）。光的衍射效应最早是由弗朗西斯科·格里马第 （Francesco Grimaldi ）发现并加以描述，他也是“衍射”一词的创始人。[ 6] [ 7] diffringere
“光不仅会沿直线传播、折射和反射，还能够以第四种方式传播，即通过衍射的形式传播。”（"Propositio I. Lumen propagatur seu diffunditur non solum directe, refracte, ac reflexe, sed etiam alio quodam quarto modo, diffracte." ）[ 6] [ 8] :149 [ 9] :95
英国科学家艾萨克·牛顿 对这些现象进行了研究，他认为光线发生了弯曲，并认为光是由粒子构成。在19世纪以前，由于牛顿在学界的权威，光微粒说 在很长一段时间占有主流位置。这样的情况直到19世纪几项理论和实验结果的发表，才得以改变。1803年，托马斯·杨 进行了一项非常著名的实验，这项实验展示了两条紧密相邻的狭缝造成的干涉现象，后人称之为“双缝实验 ”。[ 10] 奥古斯丁·菲涅耳 则对衍射做了更多权威的计算研究，他的结果分别于1815年[ 11] :卷1，239-281 和1818年[ 12] :33-475 被发表，他提到
“这样，我就展示了人们能够通过何种方式来构想光以球面波连续不断地传播出去……”（ "J'ai donc montré de quelle façon l'on peut concevoir que la lumière s'étend successivement par des ondes sphériques, ..." ）[ 13] :章1,p18
法国科学院曾经举办了一个关于衍射问题的有奖辩论会，菲涅耳赢得了这次辩论。作为反对光波动说 的其中一位，西莫恩·德尼·泊松 提出，如果菲涅耳声称的结论是正确的，那么当光射向一个球的时候，将会在球后面阴影区域的中心找到亮斑。结果，评审委员会安排了上述实验，并发现了位于阴影区域中心的亮斑（它后来被称作泊松光斑 ）。这个发现极大地支持了菲涅耳的理论。[ 14] :940 他的研究为克里斯蒂安·惠更斯 发展的光的波动理论提供了很大的支持。他与杨的理论共同反驳了牛顿关于光是粒子的理论。
在对衍射现象的探索过程中，人们也不断积累了对于衍射光栅的认识。17世纪，苏格兰数学家、天文学家詹姆斯·格雷戈里 在鸟的羽毛缝间观察到了阳光的衍射现象。他是第一个发現衍射光栅 原理的科学家。在1673年5月13日他写给约翰·科林斯 （John Colins ）的一封信中提到了此发现。[ 15] :卷2：251-255 ；1786年，美国天文学家戴维·里滕豪斯 用螺丝和细线第一次人工制成了衍射光栅，细线的密度达到每英寸100线，他用这个装置成功地看到了阳光的衍射。1821年，约瑟夫·夫琅禾费 利用相似的装置（每厘米127线）证明了托马斯·杨关于衍射的公式（参见段落下方），并对衍射进行了许多重要研究。1867年，刘易斯·卢瑟福（Lewis Morris Rutherfurd ）采用水轮机作为动力进行刻线、制作光栅。后来的亨利·奥古斯塔斯·罗兰 改良了光栅的刻划技术，并在1882年发明了在凹形球面镜上进行刻划的凹面光栅。其后的罗伯特·伍德（Robert William Wood ）改进了光栅的刻划形状，从而提高了光栅的衍射效率。近代的阿尔伯特·迈克耳孙 提出利用干涉伺服系统控制光栅的刻划过程，于1948年实现了这一想法。20世纪下半叶，由于激光、光刻胶等新技术的出现，光栅制造技术取得很大的进步，制造成本显著降低，制造周期也得以缩短。[ 16]
图示为温泉 上方水蒸气中的光环 现象。光环是一种光波被水气或尺寸不均匀的小水滴反向散射到其波源的光学现象，整个过程包含了衍射、反射 和折射 。 衍射效应在日常生活中并不罕见。许多有关光的衍射实例都可以用肉眼观察到。例如，在CD 或DVD 光盘的表面，均匀地緊密排列着一系列的光轨，这些光轨相当于衍射光栅 的作用。[ 17] 全息摄影 的技术基础之一。[ 18] [ 19]
衍射是一切波的固有属性。即使是宏观的海浪，在防波堤 或其他障碍物附近也能够发生衍射。此外，声波在障碍物边缘发生衍射，也是人站在障碍物（例如墙壁、树木）后面仍然能够听到声音的原因之一。[ 20] :102 不过，衍射也为照相机、望远镜和显微镜等光学仪器的分辨率设定了一定的限制。[ 21] :190-192
惠更斯原理的示意图：可以看出，狭缝处诸点光源作为次生光波的光源向各个方向发出光波。 光波（或其他波）传播的路径不同，可能造成衍射现象的发生。可以用惠更斯－菲涅耳原理 和波的叠加原理 对现象进行描述。这个理论认为，可以把波前 的每一点考虑为次波（球面波）的点波源，这些次波就是后续时刻的波面。这个原理最早由惠更斯于17世纪提出，不过他并未虑及波的时空周期性（他认为光是一种非周期性的、无规则的脉冲）。1818年左右，菲涅耳在巴黎科学院关于解释衍射现象的有奖竞赛中，吸收了惠更斯“次波”的思想，并加入了他对于干涉现象的理解，使上述理论得以发展和完善。后人将这个理论称为“惠更斯－菲涅耳原理”。根据这一理论，任意后续位置的波位移等于这些次波求和。求和并非简单的代数和，而必须虑及这些波各自的相对相位以及振幅。因此，它们叠加之后的振幅范围介于0（相互完全抵消）和所有次波振幅的代数总和之间。我们可以通过光学实验，观察到光波的衍射图样。光的衍射图样通常具有一系列明暗条纹（分别对应光波振幅的最大值和最小值）。[ 22] :189
人们为了分析波的衍射现象，构造了许多数学模型，其中包括从波动方程 推导出的菲涅耳－基尔霍夫衍射公式 、夫琅禾费衍射 模型以及菲涅耳衍射 模型。[ 23] :198-200 设
a
{\displaystyle a}
λ
{\displaystyle \lambda }
L
{\displaystyle L}
F
=
a
2
L
λ
≥
1
{\displaystyle F={\frac {a^{2}}{L\lambda }}\geq 1}
我们就称其为菲涅耳衍射，它是衍射的近场近似；
如果它们满足
F
=
a
2
L
λ
≪
1
{\displaystyle F={\frac {a^{2}}{L\lambda }}\ll 1}
我们就称其为夫琅禾费衍射，它是衍射的远场近似。
大多数情况，获得衍射方程的严格解析解较为困难，[ 1] :559 可以通过有限元分析 和边界元分析方法来求得数值解。实际的衍射过程通常很复杂，不过，如果能够将实际情况简化到二维平面上，则对于衍射的数学描述将变得相对简单。例如，水波就可以近似地看做是分布在二维平面上的机械波。而对于光波，如果它遇到的衍射物体在某一个方向的尺度远大于光的波长，从而造成这个方向的衍射现象不显著，那么，在分析计算时可以将其忽略，这样做并不会严重影响分析结果。例如，狭缝问题就可以简化到二维的情况，这是因为其沿着缝隙方向的长度和入射光波长相差甚远，因此我们只需考虑它宽度和厚度这两个方向。然而，当我们考虑入射光穿过圆孔时，则必须完整地考虑其三维方向光的传播细节。[ 1] :563-570
在实验中，常常利用图中的xy-可調式單缝儀来研究单缝衍射。通过四个旋钮，可以方便地对狭缝的宽度和形状进行微调，从而研究不同情况衍射的特点。 图的右半部分为观察屏水平方向上的輻照度 分布，輻照度曲线在
θ
{\displaystyle \theta }
θ
m
i
n
,
1
{\displaystyle \theta _{min,1}}
θ
{\displaystyle \theta }
θ
{\displaystyle \theta }
L
{\displaystyle L}
d
{\displaystyle d}
假设有一个不透明挡板，用小刀在上面刻一条狭长、笔直、透光的缝，然后在挡板的后面放置一个观察屏。照射單色平行光 （collimated light ）在这个挡板上。按照幾何光學 ，观察屏上只会有一条与狭缝轮廓相同的亮条纹。然而，精细的观察可以发现在这条亮条纹的两侧，对称地分布着一些亮条纹。发生这样现象是因为光在狭缝处发生了衍射。
单缝衍射强度分布图 假设狭缝宽度大於光波的波长，那么当这束光穿过狭缝后，会向擋板后的区域传播，并在那里发生干涉现象。实际上，狭缝的縫宽之间均匀分布着大量点光源，衍射图样是这些点光源的共同作用结果。为了简化对于该过程的分析，限定入射光具有單一的波长、都是单色光 （频率相同），并且在波源位置具有相同的初始相位。在狭缝后面的区域中任意位置的光是上述所有点光源的“次光波”在那位置的疊加结果。[ 22] :189 因為次光波从狭缝的每個点光源到给定点所经过的路径不同，所以它们的光程不同，因此它们在给定点的相位 将会不同。對於缝间任意两个点光源，假若分別来自它們的次光波在观察屏给定点的相對相位為
2
π
{\displaystyle 2\pi }
π
{\displaystyle \pi }
[ 21] :104 從這概念，可以找到衍射光強 的极大值或极小值。在衍射图样中，它们分别表现为明暗条纹。
通过下面的推导，[ 14] :941-942 可以找到衍射光波的第一個極小值在观察屏上的位置。将宽度为
d
{\displaystyle d}
d
/
2
{\displaystyle d/2}
λ
{\displaystyle \lambda }
θ
{\displaystyle \theta }
(
d
/
2
)
sin
θ
=
λ
/
2
{\displaystyle (d/2)\,\sin \theta =\lambda /2}
时（在等式两边同时乘以2，可以得到
d
sin
θ
=
λ
{\displaystyle d\,\sin \theta =\lambda }
L
≫
d
{\displaystyle L\gg d}
θ
{\displaystyle \theta }
d
sin
θ
m
i
n
,
1
=
λ
{\displaystyle d\,\sin \theta _{min,1}=\lambda }
回想先前的假設為狹縫寬度大於光波波長。注意到狹縫寬度越小，同時保持波長不變，則
sin
θ
m
i
n
,
1
=
λ
/
d
{\displaystyle \sin \theta _{min,1}=\lambda /d}
θ
m
i
n
,
1
{\displaystyle \theta _{min,1}}
θ
m
i
n
,
1
=
π
/
2
{\displaystyle \theta _{min,1}=\pi /2}
上面考虑了第一极小值的情况。可以仿照上面的方法，将狭缝均分为4段、6段、8段……
2
n
{\displaystyle 2n}
n
{\displaystyle n}
d
sin
θ
m
i
n
,
n
=
n
λ
{\displaystyle d\,\sin \theta _{min,n}=n\lambda }
这里
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
此外，輻照度 分布可以由夫琅禾费衍射 方程给出：
I
(
θ
)
=
I
0
sinc
2
(
d
π
sin
θ
/
λ
)
{\displaystyle I(\theta )=I_{0}\,\operatorname {sinc} ^{2}(d\pi \sin \theta /\lambda )}
这里
I
(
θ
)
{\displaystyle I(\theta )}
I
0
{\displaystyle I_{0}}
当
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
sinc
(
x
)
=
sin
(
π
x
)
/
(
π
x
)
{\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}
sinc
(
0
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}
菲涅耳半波带法是单缝衍射中一种简易的分析方法。[需要解释
将平行入射光分成
k
{\displaystyle k}
d
sin
α
=
2
k
(
λ
/
2
)
{\displaystyle d\,\sin \alpha =2k(\lambda /2)}
d
sin
α
=
(
2
k
+
1
)
(
λ
/
2
)
{\displaystyle d\,\sin \alpha =(2k+1)(\lambda /2)}
当我们讨论双缝干涉时，为了简化问题，常常假设缝的宽度远小于入射光的波长。这样，在观察屏上就可以看到輻照度 近似相等的干涉条纹。事实上，在真实的实验并不总能满足上述假设。呈现在观察屏上的亮条纹是中央最亮，两侧亮度逐渐衰减。因此，实际产生的图样是干涉、衍射效应的总和。简单地说，实际双缝实验的条纹，具有理想双缝干涉中条纹的位置，但是輻照度在观察屏上的分布类似单缝衍射中央强、两侧弱的情况。[ 14] :950
考虑到衍射效应，实际的双缝干涉图样的輻照度可以用以下公式计算
I
(
θ
)
=
I
m
(
cos
2
β
)
(
sin
α
α
)
2
{\displaystyle I(\theta )=I_{m}(\cos ^{2}\beta )\left({\frac {\sin \alpha }{\alpha }}\right)^{2}}
其中，
β
=
π
d
λ
sin
θ
{\displaystyle \beta ={\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta }
d
{\displaystyle d}
α
=
π
a
λ
sin
θ
{\displaystyle \alpha ={\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta }
a
{\displaystyle a}
[ 14] :950
上述公式表明，实际的双缝干涉是干涉和衍射的共同效应。如果考虑问题时把缝宽忽略，把入射波考虑成来自少数几个具有相同相位的波源，那么就称看到的现象为“干涉”；如果把入射波考虑成来自同相位的波阵面（缝宽方向的大量点波源），那么就称看到的现象为“衍射”。这样的说法只是为了分析问题方便，事实上二者常常是同时发生的。[ 14] :950
衍射光栅是狭缝按照一定规律分布的光学装置，它能够调整入射光的相位、振幅等属性，使透过它的光发生衍射、干涉，以达到所需的实验目的。光穿过衍射光栅后形成的图样形状与光栅的结构和数量都有关系。
所有衍射光栅的
m
{\displaystyle m}
θ
m
{\displaystyle \theta _{m}}
[ 22] :229-230
d
(
sin
θ
m
+
sin
θ
i
)
=
m
λ
.
{\displaystyle d\left(\sin {\theta _{m}}+\sin {\theta _{i}}\right)=m\lambda .}
这里
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}}
i 为光波入射到光栅的角度，如果是垂直入射到平面光栅，则
sin
θ
i
=
0
{\displaystyle \sin {\theta _{i}}=0}
d
{\displaystyle d}
m
{\displaystyle m}
衍射光栅后面给定位置的光波，是衍射光栅诸狭缝衍射光的叠加。用于分离白光中不同频率成分光的分光计，就利用了衍射光栅的原理。[ 14] :955
下面位于中间的这幅图显示了具有相同缝间距的双缝光栅和五缝光栅的衍射图样。可以看出，衍射光加强点的位置是相同的，但是光斑的宽度有所不同。
衍射光栅的强度分布是衍射因子和干涉因子的乘积：[ 24]
P
=
D
(
θ
)
⋅
I
(
θ
)
{\displaystyle P=D(\theta )\cdot I(\theta )}
其中 D 是 衍射因子
D
=
sin
(
π
⋅
d
⋅
sin
(
θ
)
/
λ
)
2
⋅
λ
2
(
π
2
⋅
d
2
⋅
sin
(
θ
)
2
)
{\displaystyle D={\frac {\sin(\pi \cdot d\cdot \sin(\theta )/\lambda )^{2}\cdot \lambda ^{2}}{(\pi ^{2}\cdot d^{2}\cdot \sin(\theta )^{2})}}}
I 是干涉因子：
I
=
sin
(
π
⋅
a
⋅
sin
(
θ
)
⋅
N
/
λ
)
2
(
N
2
⋅
sin
(
π
⋅
a
⋅
sin
(
θ
)
/
λ
)
2
)
{\displaystyle I={\frac {\sin(\pi \cdot a\cdot \sin(\theta )\cdot N/\lambda )^{2}}{(N^{2}\cdot \sin(\pi \cdot a\cdot \sin(\theta )/\lambda )^{2})}}}
本条目中，向量 與标量 分別用粗體 與斜體 顯示。例如，位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
檢驗變數或場變數 的標記的後面沒有單撇號「
′
{\displaystyle '\,\!}
′
{\displaystyle '\,\!}
從馬克士威方程式 ，可以推導出在自由空間 裏，電場
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
波動方程式 ：[ 25] :246
∇
2
E
−
1
c
2
∂
2
E
∂
t
2
=
−
1
ϵ
0
(
−
∇
ρ
−
1
c
2
∂
2
J
∂
t
2
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\ {\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\epsilon _{0}}}\left(-\nabla \rho -\ {\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}\mathbf {J} }{\partial t^{2}}}\right)}
∇
2
B
−
1
c
2
∂
2
B
∂
t
2
=
−
μ
0
∇
×
J
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} -\ {\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\nabla \times \mathbf {J} }
這裏，
c
{\displaystyle c}
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
電常數 ，
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
磁常數 ，
ρ
{\displaystyle \rho }
電荷密度 ，
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
電流密度 。
這些方程式都具有同樣形式的波動方程式：
∇
2
Ψ
−
1
c
2
∂
2
Ψ
∂
t
2
=
−
F
(
r
,
t
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\Psi -\ {\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=-F(\mathbf {r} ,t)}
這裏，
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
F
(
r
,
t
)
{\displaystyle F(\mathbf {r} ,t)}
假設這波源只發射出頻率為
ω
{\displaystyle \omega }
F
(
r
,
t
)
=
f
(
r
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle F(\mathbf {r} ,t)=f(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}
則前述含時波動方程式可以寫為不含時波動方程式：[ 26] :135-152
∇
2
ψ
+
k
2
ψ
=
−
f
(
r
)
,
{\displaystyle \nabla ^{2}\psi +k^{2}\psi =-f(\mathbf {r} ),}
（1） 這裏，
k
=
ω
/
c
{\displaystyle k=\omega /c}
波向量 的數值大小，
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
Ψ
(
r
,
t
)
=
ψ
(
r
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}
方程式（1） 乃是非齊次亥姆霍兹方程 。設
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
格林函數
G
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
格林函數 必須滿足方程式[ 25] :246
∇
2
G
(
r
,
r
′
)
+
k
2
G
(
r
,
r
′
)
=
−
δ
(
r
−
r
′
)
{\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+k^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}
這裏，
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
δ
(
r
−
r
′
)
{\displaystyle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}
狄拉克δ函数 。
假若找到了對應的格林函數 ，那麼，假若
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
ψ
(
r
)
=
∫
V
f
(
r
′
)
G
(
r
,
r
′
)
d
3
r
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {V} }f(\mathbf {r} ')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
格林函數的形式與邊界條件有關。對於邊界曲面為無窮遠的自由空間，格林函數只與
R
=
r
−
r
′
{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} '}
∇
2
G
(
R
,
O
)
+
k
2
G
(
R
,
O
)
=
−
δ
(
R
)
{\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {R} ,\mathbf {O} )+k^{2}G(\mathbf {R} ,\mathbf {O} )=-\delta (\mathbf {R} )}
這裏，
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
從這方程式，可以觀察到，格林函數具球對稱 性質。因此，採用球坐標 ，格林函數滿足
1
R
d
2
d
R
2
(
R
G
)
+
k
2
G
=
−
δ
(
R
)
{\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} R^{2}}}(RG)+k^{2}G=-\delta (\mathbf {R} )}
通过代换，可以得知，形式為射出的球面波的格林函數能夠滿足以下方程：[ 26] :110-116
G
(
R
,
O
)
=
e
i
k
R
4
π
R
{\displaystyle G(\mathbf {R} ,\mathbf {O} )={\frac {e^{ikR}}{4\pi R}}}
注意到，這格林函數假定點波源位於坐标系的原点
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
G
(
r
,
r
′
)
=
e
i
k
|
r
−
r
′
|
4
π
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}
假設波源是在xy-平面的面積分佈，
f
(
r
′
)
=
f
s
(
ρ
′
)
δ
(
z
′
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} ')=f_{s}({\boldsymbol {\rho }}')\delta (z')}
ψ
=
∫
V
f
(
r
′
)
G
(
r
,
r
′
)
d
3
r
′
=
∫
V
f
s
(
ρ
′
)
δ
(
z
′
)
G
(
r
,
r
′
)
d
3
r
′
=
∫
S
f
s
(
ρ
′
)
G
(
r
,
ρ
′
)
d
σ
′
=
∫
S
f
s
(
ρ
′
)
e
i
k
|
r
−
ρ
′
|
4
π
|
r
−
ρ
′
|
d
σ
′
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\int _{\mathbb {V} }f(\mathbf {r} ')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=\int _{\mathbb {V} }f_{s}({\boldsymbol {\rho }}')\delta (z')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\&=\int _{\mathbb {S} }f_{s}({\boldsymbol {\rho }}')G(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {\rho }}')\,\mathrm {d} \sigma '=\int _{\mathbb {S} }f_{s}({\boldsymbol {\rho }}'){\frac {e^{ik|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\rho }}'|}}{4\pi |\mathbf {r} -{\boldsymbol {\rho }}'|}}\,\mathrm {d} \sigma '\\\end{aligned}}}
這裏，
r
′
=
ρ
′
=
ρ
′
ρ
^
{\displaystyle \mathbf {r} '={\boldsymbol {\rho }}'=\rho '{\hat {\boldsymbol {\rho }}}}
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
直角坐標 表示，
ρ
′
=
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}'=(x',y',0)}
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
d
σ
′
{\displaystyle \mathrm {d} \sigma '}
δ
(
z
′
)
{\displaystyle \delta (z')}
狄拉克δ函数 。
對於一般的面積分佈波源，
ψ
=
∫
V
f
(
r
′
)
G
(
r
,
r
′
)
d
3
r
′
=
∫
S
f
s
(
r
′
)
e
i
k
|
r
−
r
′
|
4
π
|
r
−
r
′
|
d
σ
′
{\displaystyle \psi =\int _{\mathbb {V} }f(\mathbf {r} ')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=\int _{\mathbb {S} }f_{s}(\mathbf {r} '){\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} \sigma '}
根據惠更斯－菲涅耳原理 ，波前 的每一點都是次波的點波源，這些次波共同形成了稍後時刻的疊加波。[ 22] :189 假設有波入射於某孔隙，則可以假定這入射波的波前在孔隙內的每一點都是孔隙內的波源，並且推論孔隙內的波源與在同位置的入射波波函數
ψ
i
n
c
{\displaystyle \psi _{inc}}
f
s
(
r
′
)
∝
ψ
i
n
c
(
r
′
)
{\displaystyle f_{s}(\mathbf {r} ')\propto \psi _{inc}(\mathbf {r} ')}
C
{\displaystyle C}
ψ
(
r
)
=
C
∫
S
ψ
i
n
c
(
r
′
)
e
i
k
|
r
−
r
′
|
|
r
−
r
′
|
d
σ
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=C\int _{\mathbb {S} }\psi _{inc}(\mathbf {r} '){\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} \sigma '}
一般空隙数学推导示意图 假設入射波為平面波，
ψ
i
n
c
(
r
′
)
=
E
0
e
i
k
z
′
{\displaystyle \psi _{inc}(\mathbf {r} ')=E_{0}e^{ikz'}}
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
ψ
i
n
c
(
ρ
′
)
=
E
0
{\displaystyle \psi _{inc}({\boldsymbol {\rho }}')=E_{0}}
ψ
(
r
)
=
C
E
0
∫
S
e
i
k
|
r
−
ρ
′
|
|
r
−
ρ
′
|
d
σ
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=CE_{0}\int _{\mathbb {S} }{\frac {e^{ik|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\rho }}'|}}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\rho }}'|}}\,\mathrm {d} \sigma '}
這裏，波源位置
ρ
′
=
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}'=(x',y',0)}
假設孔隙是半徑為
a
{\displaystyle a}
r
≫
a
{\displaystyle r\gg a}
|
r
−
ρ
′
|
{\displaystyle |\mathbf {r} -{\boldsymbol {\rho }}'|}
r
−
r
^
⋅
ρ
′
{\displaystyle r-{\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\rho }}'}
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
[ 25] :490-495
ψ
(
r
)
≈
C
E
0
e
i
k
r
r
∫
S
e
−
i
k
r
^
⋅
ρ
′
d
σ
′
=
C
E
0
e
i
k
r
r
∫
0
a
∫
0
2
π
e
−
i
k
ρ
′
sin
θ
cos
(
ϕ
−
ϕ
′
)
ρ
′
d
ϕ
′
d
ρ
′
=
2
π
a
2
C
E
0
e
i
k
r
r
J
1
(
k
a
sin
θ
)
k
a
sin
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} )&\approx CE_{0}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int _{\mathbb {S} }e^{-ik{\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\rho }}'}\,\mathrm {d} \sigma '\\&=CE_{0}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{2\pi }e^{-ik\rho '\sin {\theta }\cos {(\phi -\phi ')}}\,\rho '\mathrm {d} \phi '\mathrm {d} \rho '\\&=2\pi a^{2}CE_{0}{\frac {e^{ikr}}{r}}\ {\frac {J_{1}(ka\sin {\theta })}{ka\sin {\theta }}}\\\end{aligned}}}
這裏，
J
i
(
k
a
sin
θ
)
{\displaystyle J_{i}(ka\sin {\theta })}
i
{\displaystyle i}
貝索函數 ，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\phi )}
假射觀察屏在遠場區域，則照射於觀察屏的干涉圖樣，其鄰近中央位置的任意點P與原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
r
{\displaystyle r}
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
L
{\displaystyle L}
輻照度 為[ 27] :467-471
I
(
θ
)
=
ψ
∗
ψ
/
2
=
I
0
[
2
J
1
(
k
a
sin
θ
)
k
a
sin
θ
]
2
{\displaystyle I(\theta )=\psi ^{*}\psi /2=I_{0}\left[{\frac {2J_{1}(ka\sin {\theta })}{ka\sin {\theta }}}\right]^{2}}
這裏，
I
0
{\displaystyle I_{0}}
更詳細運算，應用格林第二恆等式 ，可以得到德國物理學者古斯塔夫·基爾霍夫 提出的基爾霍夫積分定理 的方程式[ 27] :510-512
ψ
(
r
)
=
1
4
π
∫
S
[
ψ
(
r
′
)
∇
(
e
i
k
R
R
)
−
e
i
k
R
R
∇
ψ
(
r
′
)
]
⋅
d
σ
′
=
−
1
4
π
∫
S
(
e
i
k
R
R
)
[
∇
ψ
(
r
′
)
+
i
k
(
1
+
i
k
R
)
R
^
ψ
(
r
′
)
]
⋅
d
σ
′
(
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {S} }\left[\psi (\mathbf {r} ')\nabla \left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)-{\frac {e^{ikR}}{R}}\nabla \psi (\mathbf {r} ')\right]\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}'\\&=-\ {\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {S} }\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)\left[\nabla \psi (\mathbf {r} ')+ik\left(1+{\frac {i}{kR}}\right){\hat {\mathbf {R} }}\psi (\mathbf {r} ')\right]\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}'\qquad \qquad \qquad \qquad (2)\\\end{aligned}}}
這裏，
R
=
r
−
r
′
{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} '}
在天文学中，通过2.56米孔径望远镜应用幸运成像 技术，可以在双星系统 的图像中看到双星各自的艾里斑。 瑞利判據 光学成像系统的成像质量或多或少都受到衍射的制约。其原因是，入射光在圆形镜片处会发生衍射，形成艾里斑 ，从而造成光路不能够汇聚到一个点。衍射对成像的影响，主要表现为画面细节模糊不清。在焦平面上，艾里斑的半径为
d
=
1.22
λ
N
,
{\displaystyle d=1.22\lambda N,\,}
这里，
λ
{\displaystyle \lambda }
N
{\displaystyle N}
焦比 （焦距与孔径的相对比值）。对应的分辨角 为
sin
θ
=
1.22
λ
D
{\displaystyle \sin \theta =1.22{\frac {\lambda }{D}}}
其中，
D
{\displaystyle D}
給定两个点波源，它們會各自產生艾里圖樣。当這两个点波源相互越加靠近對方時，兩個艾里圖樣也会慢慢开始重叠，最后甚至会合并形成单一的图样，從而導致无法分辨出两个独立波源所对应的圖像。使用望远镜观察太空中的一对双星就很可能遇到这样的情况。瑞利准则 指出，只有当两个像之间的距离大于或等于艾里斑的半径时，也就是说，当一个圆斑的中心（中央的主极大值位置）不在另一个圆斑的边缘（第一極小值位置）之內，[ 23] :214 [ 21] :191 才可以說這对应的两个独立波源能夠被明確分辨出來。
这样，当镜片孔径越大、波长越短，则光学系统的分辨率越好。这就是望远镜具有大口径镜头的原因。這也解释了显微镜观察细节的能力受到限制的原因。[ 21] :190-192
量子理论指出，所有的实物粒子都具有波动性。特别的，大质量粒子可以发生明显的干涉和衍射现象。电子和中子的衍射是量子力学的重要关注对象。根据德布罗意假设 ，
λ
=
h
p
{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}
这里
h
{\displaystyle h}
普朗克常数 ，
p
{\displaystyle p}
动量 （低速情况下等于质量和速度的乘積）。
对于大多数宏观粒子来说，它们所具有的德布羅意波长非常短，不足以表现明显的波动性。[ 30] :79 例如，以每秒30,000米移動的钠原子 ，其德布羅意波长大約为50皮米（pico meter ）。德布罗意在进行论文答辩时讓·佩蘭 曾询问他如何证明他所谓的“物质波”，德布罗意回答说：“用晶体对电子的衍射实验可以做到”。[ 31] :247 后来，电子在镍晶体 的衍射印证了他的假设。[ 32] :21-24
即便是最小的宏观物体，其波长还是非常小，因此物质波的衍射现象只能在微观的粒子（例如电子、中子、原子和小分子）上体现。这些物质的短波长使得它们很适合用来研究固體和大分子（诸如蛋白质 ）的原子晶体结构。
一些相对较大的分子，像富勒烯 ，也能表现出衍射现象。[ 33]
同一波源发射的波，由於传播路径不同，會在观察屏上产生干涉情况。在这种描述裏，经过不同路径到达给定点的波之间的相位差只与它们的有效光程有关，而与时间无关。正因为如此，观察屏上给定点的明暗情况是确定的，这样总体上会形成稳定的图样。如果采用不相干入射光，那么其中的不同波传播到给定点时的相位差将会极快地、无规则地变化，这样在观察屏上就无法形成稳定的干涉相长或干涉相消的图样，而是在这两种情况之间不断变化，以至于无法观察到明暗条纹。[ 14] :919
一束光波的相位在某段长度上是相關的，这段长度被称作是縱向相干长度 ，簡稱為「相干长度 」。为了使干涉能够发生，光程差必须小于相干长度。有时候，这被称为波谱相干性 ，因为它与波中存在的不同频率成分有关。在原子跃迁 發射光波的情况中，相干长度与原子产生跃迁的激发态的寿命有关。[ 27] :314-316 [ 39] :71-74
如果光波由扩展光源发射，則可能會出現横向的不相干。当观察一束光的截面时，相位在某段横向距離上是相關的，这段横向距離被称作是「横向相干长度」。在杨氏双缝实验中，这意味着如果横向相干长度比两条狭缝的间距小，那么在观察屏上形成的图样看起来就像是两个独立单缝形成的衍射图样。[ 39] :74-79
在电子、中子和原子等离子的情况中，相干长度与描述粒子的波函数的空间范围有关。[ 40] :107
衍射的數學表述 （diffraction formalism ）衍射的動力理論 （dynamical theory of diffraction ）激光衍射分析 （Laser diffraction analysis ）衍射儀 （diffractometer ）大氣層衍射 （atmostpheric diffraction ）光環 彩雲 X光散射技术
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {S} }\left[\psi (\mathbf {r} ')\nabla \left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)-{\frac {e^{ikR}}{R}}\nabla \psi (\mathbf {r} ')\right]\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}'\\&=-\ {\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {S} }\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)\left[\nabla \psi (\mathbf {r} ')+ik\left(1+{\frac {i}{kR}}\right){\hat {\mathbf {R} }}\psi (\mathbf {r} ')\right]\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}'\qquad \qquad \qquad \qquad (2)\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e16dee96f77db4be717a032de5ff9925c7f3ff)
