范德波尔振荡器

范德波尔振荡器（Van der Pol oscillator）是荷兰物理学家巴尔塔萨·范·德·波尔在1927年发现的真空管放大器的极限环振荡现象^[1]。极限环振荡可以用下列非线性微分方程表示：

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\alpha (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$

此方程称为范德波尔振荡器方程，没有解析解，但可利用龙格－库塔法求得数值解^[2]。

当α=0时，此方程变成普通的简谐振动方程

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+x=0}$

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  简谐振动图
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  简谐振动相图

当α<0 时，就是阻尼振动，振动逐渐衰减为0

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  阻尼振动图
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  阻尼振动相图

当>0时出现自激振动

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  自激振动
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  自激振动相图
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