范德波尔振荡器

范德波尔振荡器（Van der Pol oscillator）是荷兰物理学家巴尔塔萨·范·德·波尔在1927年发现的真空管放大器的极限环振荡现象^[1]。极限环振荡可以用下列非线性微分方程表示：

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\alpha (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$

此方程称为范德波尔振荡器方程，没有解析解，但可利用龙格－库塔法求得数值解^[2]。

当α=0时，此方程变成普通的简谐振动方程

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+x=0}$

• 
  简谐振动图
• 
  简谐振动相图

当α<0 时，就是阻尼振动，振动逐渐衰减为0

• 
  阻尼振动图
• 
  阻尼振动相图

当>0时出现自激振动

• 
  自激振动
• 
  自激振动相图
• 
• 
• 
• 

参考文献

1. Van der Pol, B., "On relaxation-oscillations", The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci., 2(7), 978-992 (1927).
2. Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics, p35, Birkhauser,1997