艾普塞朗數

此條目介紹的是數學集合論中的序數。关于物理學中的 ε₀，请见「真空电容率」。

艾普塞朗數ε乃是數學集合論中一系列的超限序數，其為指數映射的某些固定點。因此，它並不能透過較小序數有限次數的加法及乘法運算而獲得。康托爾原來引進的艾普塞朗數，乃以以下的方式定義:-

ε乃是一個滿足以下式的序數，當中ω乃是最小的無限序數。

${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon },\,}$

滿足上式的所有ε當中，最小的記為ε₀。它可以透過以下的超限遞歸法獲得:-

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}}$

其後如此類推，

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha +1}=\sup\{\varepsilon _{\alpha }+1,\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1}},\dots \}=\sup\{0,1,\varepsilon _{\alpha },\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }},\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }}},\dots \}}$

更大的艾普塞朗數為${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\omega },\varepsilon _{\omega +1},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{1}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}},\ldots }$。值得留意的是，ε₀的基数，仍然為可數的。實際上，所有指標為可數的ε，其基數也是可數的。不可數的ε（意指滿足定義式${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon },\,}$的ε）存在，但其指標也是不可數的。

參考條目

• 巨大可數序數