肯普納級數

肯普納級數（英語：Kempner series）是十進制寫法不含數字9的正整數的倒數和。用符號可寫成

${\displaystyle \sum _{\begin{smallmatrix}n=1\\n{\text{缺 }}9\end{smallmatrix}}^{\infty }{\frac {1}{n}}_{,}}$

其中「缺9」意思是「十進制表示中，不含數字9」，下同。奧伯利·肯普納（英语：Aubrey J. Kempner）於1914年最早研究該級數。^[1]肯普納級數是由調和級數刪走含數字9的項所得，但肯普納級數收斂，調和級數則發散。肯普納證明，級數之和小於90。羅伯特·貝利^[2]證明，級數準確到小數點後20位的值為22.92067661926415034816（OEIS數列A082838）。

直觀理解，級數收斂是因為大部分「大數」都有齊0至9的全部數字。例如，均勻隨機選一個100位的正整數，很易包含至少一個數字9，於是級數不計該數的倒數。

施梅爾策與貝利^[3]找到高效算法，給定任意數字串為輸入，計算缺該串的正整數倒數和。此問題推廣了原本的級數求值問題。舉例，考慮所有缺數字串「42」的正整數${\displaystyle n}$，其倒數和約為228.44630415923081325415。又舉例，缺數字串「314159」的正整數倒數和約為2302582.33386378260789202376。（上述數值皆四捨五入至末位。）

命名

許多文獻中，級數未有命名。^[4]MathWorld用Kempner series為條目名。^[5]朱利安·哈維爾所著《伽瑪》（論歐拉-馬斯刻若尼常數）亦採用同一名稱。^[6]:31–33

收斂

肯普納對數列收斂之證明^[1]，載於若干教科書，如哈代與賴特合著《數論導論》^[7]:120，亦是阿波斯托《數學分析》的習題^[8]:212。證明如下。

將級數各項按分母的位數分組。由乘法原理，缺「9」的${\displaystyle n}$位正整數共有${\displaystyle 8\times 9^{n-1}}$個，因為最高位有8個選擇（1至8，首位不為零），而其後${\displaystyle n-1}$位，每位有9種選擇（0至8），且各位的選擇互相獨立。任何${\displaystyle n}$位數皆不小於${\displaystyle 10^{n-1}}$，故其倒數至多為${\displaystyle 10^{1-n}}$。所以，缺「9」的${\displaystyle n}$位正整數之倒數，對級數的貢獻，至多是${\displaystyle 8\times \left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}}$。因此，將各組貢獻加總，全個級數至多為

${\displaystyle 8\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80.}$

若將禁止出現的「9」換成其他非零數字，則同樣的論證仍成立。至於缺「0」的情況，缺「0」的${\displaystyle n}$位正整數共有${\displaystyle 9^{n}}$個，故缺「0」正整數的倒數和至多為：

${\displaystyle 9\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90.}$

若刪去含有某串${\displaystyle k}$位子字串的項，例如忽略所有分母含子字串「42」的項，則級數同樣收斂。證明方法幾乎一樣^[3]，先觀察在${\displaystyle 10^{k}}$進制中，刪去含有該字串為「位」的項，則前述證明適用，證出新級數收斂。但是，新級數比欲證收斂的級數更大，原因是欲證收斂的級數中，不僅刪走以該字串為${\displaystyle 10^{k}}$進制位的項，還刪走了跨${\displaystyle 10^{k}}$進制位而含該字串的項。接續前一個例子，百進制的新級數略過4217（百進制的首位是42）和1742（百進制的末位是42），但未略過1427，而欲證收斂的級數中，連1427也一併略去。

巴基爾·法喜^[9]研究恰有${\displaystyle n}$個數字${\displaystyle d}$（滿足${\displaystyle 0\leq d\leq 9}$）的正整數倒數和${\displaystyle S(d,n)}$，此為肯普納級數的推廣，因為原級數即為${\displaystyle S(9,0)}$。法喜證明，對每個${\displaystyle d}$，數列${\displaystyle S(d,n)}$由${\displaystyle n=1}$起取值遞減，且當${\displaystyle n}$趨向無窮大時，收斂到${\displaystyle 10\ln 10}$。不過，數列一般並非由${\displaystyle n=0}$起遞減，例如原級數值為${\displaystyle S(9,0)\approx 22.921<23.026\approx 10\ln 10}$，比${\displaystyle n\geq 1}$時任意一個${\displaystyle S(9,n)}$更小。

數值方法

級數收斂得很慢。貝利^[2]寫道，即使計算前10²⁴項和，其後餘項仍超過1。^[10]

80是很粗略的上界。弗蘭克·厄文較仔細地分析後^[11]，證明級數值接近23。此後，再由貝利改進到前述的22.92067…。^[2]

貝利^[2]以${\displaystyle s(i,j)}$表示缺某指定數字的所有${\displaystyle i}$位正整數的${\displaystyle j}$次方倒數和，然後推導出，只要有齊${\displaystyle s(i,j+n)}$對所有非負整數${\displaystyle n}$的值，就能遞歸計算${\displaystyle s(i+1,j)}$。於是，祗需較少的計算，已得到原級數${\displaystyle s(1,1)+s(1,2)+\cdots }$的準確估計。

參見

• 倒數和收斂
• 倒數和列表（英语：List of sums of reciprocals）

參考文獻

1. Kempner, A. J. A Curious Convergent Series [某稀奇的收斂級數]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 1914-02, 21 (2): 48–50. ISSN 0002-9890. JSTOR 2972074. doi:10.2307/2972074 （英语）.
2. Baillie, Robert. Sums of Reciprocals of Integers Missing a Given Digit [缺給定數字的整數倒數和]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 1979-05, 86 (5): 372–374. ISSN 0002-9890. JSTOR 2321096. doi:10.2307/2321096 （英语）.經^[10]訂正。
3. Schmelzer, Thomas; Baillie, Robert. Summing a Curious, Slowly Convergent Series [求某稀奇而收斂得慢的級數和]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 2008-06, 115 (6): 525–540. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642532. MR 2416253 （英语）.
4. 赵显曾; 冯世; 程乃毅. 调和级数的收敛子级数的和. 南京工学院学报. 1985, (3) [2021-11-08]. （原始内容存档于2021-11-08）.
5. Weisstein, Eric W. (编). Kempner series. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
6. Havil, Julian. Gamma: Exploring Euler's Constant [伽瑪：探索歐拉常數]. Princeton: Princeton University Press. 2003. ISBN 978-0-691-09983-5 （英语）.
7. Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers [數論導論] 5th. Oxford: Clarendon Press. 1979. ISBN 0-19-853171-0 （英语）.
8. Apostol, Tom. Mathematical Analysis [數學分析]. Boston: Addison–Wesley. 1974. ISBN 0-201-00288-4 （英语）. 該書有中譯本：
   Tom M. Apostol（著）; 邢富冲; 邢辰; 李松洁; 贾婉丽（译）. 数学分析. 华章数学译丛. 机械工业出版社. 2006. ISBN 7-111-18014-3.
9. Farhi, Bakir. A Curious Result Related to Kempner's Series [有關肯普納級數的稀奇結果]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). December 2008, 115 (10): 933–938. Bibcode:2008arXiv0807.3518F. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642640. MR 2468554. arXiv:0807.3518  （英语）.
10. ERRATA [勘誤]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). December 1980, 87 (10): 866. ISSN 0002-9890. doi:10.2307/2320815 （英语）.
11. Irwin, Frank. A Curious Convergent Series [某稀奇的收斂級數]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). May 1916, 23 (5): 149–152. ISSN 0002-9890. JSTOR 2974352. doi:10.2307/2974352 （英语）.