秩 (微分拓撲)

數學上，一個可微映射f : M → N在一點p的秩，是f的導函數的秩。映射f在點p的導數是一個線性映射

${\displaystyle d_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,}$

從點p的切空間到點f(p)的切空間。因為是向量空間之間的線性映射，故其秩有明確定義，即是T_f(p)N的像的維數：

${\displaystyle \operatorname {rank} (f)_{p}=\dim(\operatorname {im} (T_{p}f)).}$

常秩映射

可微映射f : M → N稱為有常秩，落f的秩在M中每一點p都相同。常秩映射有一些很好的性質，是微分拓撲中的重要概念。

有三類特別的常秩映射：一個常秩映射f : M → N是

• 浸入，若rank f = dim M（導函數處處單射）；
• 浸沒，若rank f = dim N（導函數處處滿射）；
• 局部微分同胚，若rank f = dim M = dim N（導函數處處雙射）。

以上的條件只牽涉到f的導函數的性質，不要求映射f是單射、滿射或雙射。例如有一些映射是單射卻非浸入，或是浸入卻非單射。不過若f : M → N是常秩光滑映射，則

• 若f是單射，則是浸入；
• 若f是滿射，則是浸沒；
• 若f是雙射，則是微分同胚。

常秩映射可以用局部座標系得出一個好的描述。設M和N是光滑流形，維數分別為m和n，映射f : M → N是光滑映射，並有常秩k。那麼對M中每一點p，都存在以p為中心的局部座標(x¹, ..., x^m)，及以f(p)為中心的局部座標(y¹, ..., yⁿ)，使得f用這些座標可以表示為：

${\displaystyle f(x^{1},\ldots ,x^{m})=(x^{1},\ldots ,x^{k},0,\ldots ,0)\,}$

參考

• Lee, John. Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics 218. New York: Springer. 2003. ISBN 978-0-387-95495-0.