球面像差

球面像差（英語：SA/Spherical aberration），是指發生在經過透鏡折射或面鏡反射的光線，接近中心與靠近邊緣的光線不能將影像聚集在一個點上的現象。這在望遠鏡和其他的光學儀器上都是一個缺點。這是因為透镜和面鏡必须满足所需的形狀，否则不能聚焦在一個點上造成的。 球面像差與鏡面直徑的四次方成正比，與焦長的三次方成反比，所以他在低焦比的鏡子，也就是所謂的「快鏡」上就比較明顯。

對使用球面鏡的小望遠鏡，當焦比低於f/10時，來自遠處的點光源（例如恆星）就不能聚集在一個點上。特別是來自鏡面邊緣的光線比來自鏡面中心的光線更不易聚焦，這造成影像因為球面像差的存在而不能很清晰的成象。所以焦比低於f/10的望遠鏡通常都使用非球面鏡或加上修正鏡。

在透鏡系統中，可以使用凸透鏡和凹透鏡的組合來減少球面像差，就如同使用非球面透鏡一樣。

• 
  球面像差。一個理想的鏡面(頂端)，能經所有入射的光線匯聚在光軸上的一個點，但一個真實的鏡面(底端)會有球面像差：靠近光軸的光線會比離光軸較遠的光線較為緊密的匯聚在一個點上，因此光線不能匯聚在一個理想的焦點上(圖較為誇張)
• 
  一個 點光源 在負球面像差(上) 、無球面像差(中)、和正球面像差(下)的系統中的成像情形。左面的影像是在焦點內成像，右邊是在焦點外的成像
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  平行光束通過透鏡後聚焦像的縱切面，上：負球面像差，中：無球面像差，下：正球面像差。鏡子位於圖的左側
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  來自球面鏡的球面像差

球面像差公式

单球面

一个球面，PA 为由球面顶点到非近轴光线入射点距离，球面左右介质的折射率分别为n，n'；非近轴入射角，折射角分别为J，J'；非近轴入射线和折射线与光轴的夹角分别为U，U'；近轴光线的入射角为i；这个球面对球面像差的贡献为^[1]

球面像差=${\displaystyle {\frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'*u'*sin(U))}}}$

在四种情况下，球面像差为零：

1. PA=0：物体和像与球面顶点重合；
2. I'=I：物体和物象在球面的曲率中心；
3. i=0；
4. I=U'或I'=U：在这种情形下的球面成为消球差曲面。

消球差球面

根据球面折射的基本方程可以导出^[2]：

${\displaystyle L={\frac {r*(n+n')}{n}}}$

${\displaystyle L'={\frac {r*(n+n')}{n'}}}$

对于消球差曲面，凡是射向同一点B入射光，其折射线与光轴相交于一个共同点B'。

${\displaystyle BC=L-r=r*{\frac {n}{n'}}}$

${\displaystyle BC=L'-r=r*{\frac {n'}{n}}}$

例如，n=1，n'=1.5^[3]。

${\displaystyle L=2.5*r}$

${\displaystyle L'=1.6667*r}$

消球差曲面多用于高倍率显微镜的物镜^[4][3]。一个消球差薄透镜由一个消球差球面和一个平面镜组成，对于平行光。消球差薄透镜等同一块平板玻璃，对于聚合光束，消球差薄透镜增加光束的聚合度，对于发散光束，消球差薄透镜增加光束的发散度^[5]。

同轴球面系

对于一个由多个球面组成镜头，球面像差由以下公式给出^[6]：

LA'=trans+newsp

其中 trans=${\displaystyle {\frac {LA*n[1]*n'[1]*sin(U[1])}{(n'[k]*u'[k]*sin(U'[k]))}}}$

newsp= ${\displaystyle \sum _{k=1}^{k}({\frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'[k]*u'[k]*sin(U[k]))}}}$

球面像差展开式

球面像差可表示为

LA'=${\displaystyle a*Y^{2}+b*Y^{4}+c*Y^{6}+}$………………^[7][8]。其中Y是入射光线的在球面入射点到光轴的距离。

球面像差
红线代表二次项，蓝线代表二次和四次项之和，黑线为二、四、六次项之和

薄透镜组的球面像差

亚历山大·尤金·康拉迪推导出薄透镜组的球面像差公式如下^[9][10]:

SC=${\displaystyle {\frac {y^{4}}{n_{0}'*u_{0}^{2}}}*\sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})}$。

其中“0”代表最后的结果，Σ代表对各镜片之和

${\displaystyle c={\frac {1}{f*(n-1)}}}$

${\displaystyle c={\frac {1}{r_{1}}}}$

${\displaystyle G_{1}={\frac {n^{2}*(n-1)}{2}}}$

${\displaystyle G_{2}={\frac {1}{2}}*(2*n+1)(n-1)}$

${\displaystyle G_{3}={\frac {1}{2}}*(3n+1)(n-1)}$

${\displaystyle G_{4}={\frac {1}{2*n}}*(n+2)(n-1)}$

${\displaystyle G_{5}{\frac {1}{2*n}}*(n^{2}-1)}$

${\displaystyle G_{6}={\frac {1}{2*n}}*(3*n+2)}$

薄透镜的球面像差

对于单薄镜片，上式可简化为^[11]。

单镜片的球面像差=LA'=${\displaystyle -y^{2}*l'^{2}*(\sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})}$

令上式对c_1的导数为零，可求得单镜片具有最小球面像差的条件^[12]:

${\displaystyle {\frac {dLA'}{dc_{1}}}}$=${\displaystyle -y^{2}*l'^{2}*(-G_{2}*c^{2}+2*G_{4}*c*c_{1}-G_{5}*c*v_{1})=0}$

即 ${\displaystyle c_{1}={\frac {G_{2}c+G_{5}v_{1}}{2G_{4}}}}$=${\displaystyle {\frac {0.5*n*(2*n+1)*c+2*(n+1)*v_{1}}{n+2}}}$.

当物距为无穷远时，v_1=0;

于是

${\displaystyle {\frac {c_{2}}{c_{1}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {2n-n-4}{n*(2n+1)}}}$^[13]。

n	r_1/r_2
1.5	-6
1.518	-6.7374
1.6	-14
1.7	93.5
1.8	12.1765
2	5
3	1.9
4	1.5

参考文献

1. Kingslake p104
2. Rudolf Kingslake p104-105
3. Rudolf Kingslake p105
4. Moritz von Rohr p244
5. Rudolf Kingslake p106
6. Rudolf Kingslake p104
7. A.E.Conrady p101
8. Kingslake p114
9. Alexander Eugen Conrady, p95
10. Kingslake p117
11. Kingslake p118
12. Kingslake, p118
13. Kingslake p119

• von Rohr莫里兹·冯·罗尔, Moritz. Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments. H.M.STATIONARY, LONDON. 1920.

• Conrady亚历山大·尤金·康拉迪, Alexander Eugen. applied Optics & Optical design. DOVER PUBLICATION. 1957.

• Kingslake 鲁道夫·京斯莱克, Rudolf. LENS DESIGN FUNDAMENTALS. ACADEMIC PRESS,NEW YORK. 1978. ISBN 012374301X.

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