在數學和數學物理中,包立矩陣是一組三個2×2的么正厄米複矩陣,[1]一般都以希臘字母σ來表示,但有時當他們在和同位旋的對稱性做連結時,會被寫成τ。他們在包立表像(σz表像)可以寫成:
這些矩陣是以物理學家沃爾夫岡·包立命名的。在量子力學中,它們出現在包立方程式中描述磁場和自旋之間交互作用的一項。所有的包立矩陣都是厄米矩陣,它們和單位矩陣I(有時候又被稱為為第零號包立矩陣σ0),的線性張成為2×2厄米矩陣的向量空間。
從量子力學的角度來看,埃爾米特矩陣(算符)代表可觀測的物理量,因此,σk, k= 0,1,2,3的線性張成代表所有作用在二維希爾伯特空間的物理量所形成的空間。從包立本人的的研究來看,σk , k=1,2,3所代表的物理量是自旋在三維歐幾里得空間ℝ3中第k個座標軸的投影分量。
數學性質
三個包立矩陣可以共同用一種單一形式表達:
其中δab是克羅內克δ函數。當a=b時,其值為1;當a≠b時,其值為0。
這些矩陣是對合的:
其中I是單位矩陣。
故從上述關係可以推得每個包立矩陣σi的本徵值分別為±1。
每個包立矩陣有兩個本徵值,+1和−1,其對應的歸一化本徵向量為:
包立向量定義為:
這個定義提供了將一般向量基底對應到包立矩陣的基底的機制
相同的下標是使用了愛因斯坦求和約定。此外:
- 。
包立矩陣有以下的對易關係:
以及以下的反對易關係。
- 。
因此可得:
為了避免符號重複,將a, b, c改成p, q, r,然後把上式和三維向量ap和bq內積,可得:
將它轉換成向量積的表達式:
令,而且對於偶數n可得:
另外加上之前求得在n = 1的情況可在n為奇數的情況:
第一項的總和為,第二項括號裡的總和是,於是:
|
這可以看做是歐拉公式的類比。
另一個常用來區別包立矩陣的方法是用上標i,用不同的i來代表不同的包立矩陣,而下標則代表不同的矩陣元素。因此第i個包立矩陣的第α行第β列的元素可表示為σ iαβ
利用這種表示方法,包立矩陣的完備性關係可寫作:
有時習慣上將2×2單位舉寫成σ0,也就是,σ0αβ = δαβ。如此一來完備性關係可以更為簡潔的表示成:
令算符Pij為換位算符(或稱為置換算符)。對於兩個在張量積空間ℂ2 ⊗ ℂ2中的自旋σi和σj該算符有:
的關係。這個算符可以更進一步的用包立矩陣來表示:
SU (2)
{I, iσ1, iσ2, iσ3}的實數張成與四元數ℍ的實代數同構,可透過下列映射得到對應關係(注意到包立矩陣的負號):
另外一種方式的映射為將包立矩陣的次序反轉[2]
既然單位四元數與SU(2)為群同構,此亦代表包立矩陣也可用來描述SU(2)。從SU(2)到SO(3)的2對1同態性,也可以用包立矩陣來表述。
四元數構成可除代數——所有非零元素皆有反元素,然而包立矩陣並非如此。包立矩陣生成的代數的四元數版,參見複四元數,其共有8個實維度。
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參考文獻
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