歐幾里得-歐拉定理

數學上，歐幾里得-歐拉定理（英語：Euclid–Euler theorem）是一條聯繫偶完全數與梅森質數的定理。這定理指出每個偶完全數都可以寫成${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$，其中${\displaystyle 2^{p}-1}$是質數。形如${\displaystyle 2^{p}-1}$的質數稱為梅森質數，因此其中的${\displaystyle p}$必須是質數。

定理敘述

一個偶數是完全數（即等於它的所有真因數的和），當且僅當它有形式${\displaystyle 2^{p-1}M_{p}}$，其中${\displaystyle M_{p}}$是梅森質數，即形為${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$ 的質數。^[1]

歷史

歐幾里得證明當${\displaystyle 2^{p}-1}$是質數時，${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$是完全數（Prop. IX.36）。這是他的《幾何原本》中數論的最後一條結果。^[2]

過了超過一千年後，約在公元1000年，海什木猜想所有偶完全數都有形式${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$，但他未能證明。^[3]

直至18世紀，數學家歐拉始證明所有偶完全數都有形式${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$。^[1][4]因此確定偶完全數和梅森質數之間存在一一對應：每個偶完全數給出一個梅森質數，反之亦然。

證明

歐拉的證明簡短^[1]，用到因數總和函數${\displaystyle \sigma }$是積性函數的性質：對任何兩個互質正整數${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$，都有${\displaystyle \sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)}$。要使這個公式成立，一個數的因數總和須包括該數本身，不只是真因數。一個數是完全數，當且僅當該數的因數總和是該數的兩倍。

定理中一個方向（歐幾里得所證明的）較為容易：如果${\displaystyle 2^{p}-1}$是質數，那麼

${\displaystyle \sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))}$

${\displaystyle =\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)}$

${\displaystyle =(2^{p}-1)2^{p}}$

${\displaystyle =2(2^{p-1}(2^{p}-1))}$

至於另一個方向，設有偶完全數2^kx，其中x是奇數。它是完全數，故此

2^{k + 1}x = σ(2^kx) = (2^{k + 1} − 1)σ(x).

上式右邊的奇因數2^{k + 1} − 1 至少等於3，且必定整除或等於左邊唯一的奇因數x，因此y = x/(2^{k + 1} − 1) 是x的真因數。將上式兩邊除以公因數2^{k + 1} − 1，並考慮x已知有因數x和y，得出

2^{k + 1}y = σ(x) = x + y + 其他各因數 = 2^{k + 1}y + 其他各因數.

要使等式成立，必需無其他因數，因此y必定等於1，x必定是形為2^{k + 1} − 1的質數。定理得證。

參考文獻

1. Stillwell, John, Mathematics and Its History, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer: 40, 2010 [2016-01-21], ISBN 9781441960528, （原始内容存档于2021-03-22）.
2. Euclid, The Thirteen Books of The Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III–IX) 2nd, Dover: 421–426, 1956.
3. 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham, MacTutor数学史档案 （英语）
4. Euler, Leonhard, De numeris amicibilibus [On amicable numbers], Commentationes arithmeticae 2: 627–636, 1849 [2016-01-21], （原始内容存档于2020-01-17） （拉丁语）. 最初在1747年2月23日向柏林科學院宣讀，在身後發表。特別參看section 8, p. 88.