模幂

模幂（英語：modular exponentiation）是一种对模进行的冪运算，在计算机科学，尤其是公开密钥加密方面有一定用途。

模幂运算是指求整数${\displaystyle b}$的${\displaystyle e}$次方${\displaystyle b^{e}}$被正整数${\displaystyle m}$所除得到的余数${\displaystyle c}$的过程，可用数学符号表示为${\displaystyle c=b^{e}{\bmod {m}}}$。由${\displaystyle c}$的定义可得${\displaystyle 0\leq c<m}$。

例如，给定${\displaystyle b=5}$，${\displaystyle e=3}$和${\displaystyle m=13}$，${\displaystyle 5^{3}=125}$被13除得的余数${\displaystyle c=8}$。

指数${\displaystyle e}$为负数时可使用扩展欧几里得算法找到${\displaystyle b}$模除${\displaystyle m}$的模逆元${\displaystyle d}$来执行模幂运算，即：

${\displaystyle c=b^{e}{\bmod {m}}=d^{-e}{\bmod {m}}}$，其中 ${\displaystyle e<0}$且${\displaystyle b\cdot d\equiv 1{\pmod {m}}}$。

即使在整数很大的情况下，上述模幂运算其实也是易于执行的。然而，计算模的离散对数（即在已知${\displaystyle b}$，${\displaystyle c}$和${\displaystyle m}$时求出指数${\displaystyle e}$）则较为困难。这种类似單向函數的表现使模幂运算可用于加密算法。

直接算法

计算模幂的最直接方法是直接算出${\displaystyle b^{e}}$，再把结果模除${\displaystyle m}$。假设已知${\displaystyle b=4}$，${\displaystyle e=13}$，以及${\displaystyle m=497}$，要求${\displaystyle c}$：

${\displaystyle c\equiv 4^{13}{\pmod {497}}}$

可用计算器算得4¹³结果为67,108,864，模除497，可得c等于445。

注意到${\displaystyle b}$只有一位，${\displaystyle e}$也只有两位，但${\displaystyle b^{e}}$的值却有8位。

强加密时${\displaystyle b}$通常至少有1024位^[1]。考虑${\displaystyle b=5\times 10^{76}}$和${\displaystyle e=17}$的情况，${\displaystyle b}$的长度为77位，${\displaystyle e}$的长度为2位，但是${\displaystyle b^{e}}$的值以十进制表示却已经有1304位。现代计算机虽然可以进行这种计算，但计算速度却大大降低。

用这种算法求模幂所需的时间取决于操作环境和处理器，时间复杂度为${\displaystyle \mathrm {O} (e)}$。

空間优化

这种方法比第一种所需要的步骤更多，但所需内存空間和时间均大为减少，其原理为： 给定两个整数${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$，以下两个等式是等价的^{[錨點失效]}：

${\displaystyle c{\bmod {m}}=(a\cdot b){\bmod {m}}}$

${\displaystyle c{\bmod {m}}=[(a{\bmod {m}})\cdot (b{\bmod {m}})]{\bmod {m}}}$

算法如下：

1. 令${\displaystyle c=1}$，${\displaystyle e'=0}$。
2. ${\displaystyle e'}$自增1。
3. 令${\displaystyle c=(b\cdot c){\bmod {m}}}$.
4. 若${\displaystyle e'<e}$，则返回第二步；否则，${\displaystyle c}$即为${\displaystyle c\equiv b^{e}{\pmod {m}}}$。

再以${\displaystyle b=4}$，${\displaystyle e=13}$，${\displaystyle m=497}$为例说明，算法第三步需要执行13次：

• ${\displaystyle e'=1\cdot c=(1\cdot 4){\bmod {4}}97=4{\bmod {4}}97=4}$
• ${\displaystyle e'=2\cdot c=(4\cdot 4){\bmod {4}}97=16{\bmod {4}}97=16}$
• ${\displaystyle e'=3\cdot c=(16\cdot 4){\bmod {4}}97=64{\bmod {4}}97=64}$
• ${\displaystyle e'=4\cdot c=(64\cdot 4){\bmod {4}}97=256{\bmod {4}}97=256}$
• ${\displaystyle e'=5\cdot c=(256\cdot 4){\bmod {4}}97=1024{\bmod {4}}97=30}$
• ${\displaystyle e'=6\cdot c=(30\cdot 4){\bmod {4}}97=120{\bmod {4}}97=120}$
• ${\displaystyle e'=7\cdot c=(120\cdot 4){\bmod {4}}97=480{\bmod {4}}97=480}$
• ${\displaystyle e'=8\cdot c=(480\cdot 4){\bmod {4}}97=1920{\bmod {4}}97=429}$
• ${\displaystyle e'=9\cdot c=(429\cdot 4){\bmod {4}}97=1716{\bmod {4}}97=225}$
• ${\displaystyle e'=10\cdot c=(225\cdot 4){\bmod {4}}97=900{\bmod {4}}97=403}$
• ${\displaystyle e'=11\cdot c=(403\cdot 4){\bmod {4}}97=1612{\bmod {4}}97=121}$
• ${\displaystyle e'=12\cdot c=(121\cdot 4){\bmod {4}}97=484{\bmod {4}}97=484}$
• ${\displaystyle e'=13\cdot c=(484\cdot 4){\bmod {4}}97=1936{\bmod {4}}97=445}$

因此最终结果${\displaystyle c}$为445，与第一种方法所求结果相等。

与第一种方法相同，这种算法需要${\displaystyle \mathrm {O} (e)}$的时间才能完成。但是，由于在计算过程中处理的数字比第一种算法小得多，因此计算时间至少减少了${\displaystyle \mathrm {O} (e)}$倍。

算法伪代码如下：

function modular_pow(b, e, m)
    if m = 1
        then return 0
    c := 1
    for e' = 0 to e-1
        c := (c * b) mod m
    return c

从右到左二位算法

第三种方法结合了第二种算法和平方求幂原理，使所需步骤大大减少，同时也与第二种方法一样减少了内存占用量。

首先把${\displaystyle e}$表示成二进制，即：

${\displaystyle e=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}2^{i}}$

此时${\displaystyle e}$的长度为${\displaystyle n}$位。对任意${\displaystyle i}$（${\displaystyle 0\leq i<n}$），${\displaystyle a_{i}}$可取0或1任一值。由定义有${\displaystyle a_{n-1}=1}$。

${\displaystyle b^{e}}$的值可写作：

${\displaystyle b^{e}=b^{\left(\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}2^{i}\right)}=\prod _{i=0}^{n-1}\left(b^{2^{i}}\right)^{a_{i}}}$

因此答案${\displaystyle c}$即为：

${\displaystyle c\equiv \prod _{i=0}^{n-1}\left(b^{2^{i}}\right)^{a_{i}}\ ({\mbox{mod}}\ m)}$

伪代码

下述伪代码基于布魯斯·施奈爾所著《应用密码学》^[2]。其中base，exponent和modulus分别对应上式中的${\displaystyle b}$，${\displaystyle e}$和${\displaystyle m}$。

function modular_pow(base, exponent, modulus)
    if modulus = 1 then return 0
    Assert :: (modulus - 1) * (modulus - 1) does not overflow base
    result := 1
    base := base mod modulus
    while exponent > 0
        if (exponent mod 2 == 1):
           result := (result * base) mod modulus
        exponent := exponent >> 1
        base := (base * base) mod modulus
    return result

注意到在首次进入循环时，变量base等于${\displaystyle b}$。在第三行代码中重复执行平方运算，会确保在每次循环结束时，变量base等于${\displaystyle b^{2^{i}}{\bmod {m}}}$，其中${\displaystyle i}$是循环执行次数。

本例中，底数${\displaystyle b}$的指数为${\displaystyle e=13}$。 指数用二进制表示为1101，有4位，故循环执行4次。 4位数字从右到左依次为1，0，1，1。

首先，初始化结果${\displaystyle R}$为1，并将b的值保存在变量${\displaystyle x}$中：

${\displaystyle R\leftarrow 1\,(=b^{0}){\text{且 }}x\leftarrow b}$.

第1步 第1位为1，故令${\displaystyle R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{1})}$；

令${\displaystyle x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{2})}$。

第2步 第2位为0，故不给R赋值；

令${\displaystyle x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{4})}$。

第3步 第3位为1，故令${\displaystyle R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{5})}$；

令${\displaystyle x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{8})}$。

第4步 第4位为1，故令${\displaystyle R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{13})}$；

这是最后一步，所以不需要对x求平方。

综上，${\displaystyle R}$为${\displaystyle b^{13}}$。

以下计算${\displaystyle b=4}$的${\displaystyle e=13}$次方对497求模的结果。

初始化：

${\displaystyle R\leftarrow 1\,(=b^{0})}$且${\displaystyle x\leftarrow b=4}$。

第1步 第1位为1，故令${\displaystyle R\leftarrow R\cdot 4{\pmod {497}}\equiv 4{\pmod {497}}}$；

令${\displaystyle x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{2})\equiv 4^{2}\equiv 16{\pmod {497}}}$。

第2步 第2位为0，故不给R赋值；

令${\displaystyle x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{4})\equiv 16^{2}{\pmod {497}}\equiv 256{\pmod {497}}}$。

第3步 第3位为1，故令${\displaystyle R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{5})\equiv 4\cdot 256{\pmod {497}}\equiv 30{\pmod {497}}}$；

令${\displaystyle x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{8})\equiv 256^{2}{\pmod {497}}\equiv 429{\pmod {497}}}$。

第4步 第4位为1，故令${\displaystyle R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{13})\equiv 30\cdot 429{\pmod {497}}\equiv 445{\pmod {497}}}$；

综上，${\displaystyle R}$为${\displaystyle 4^{13}{\pmod {497}}\equiv 445{\pmod {497}}}$，与先前算法中所得结果相同。

该算法时间复杂度为O(log exponent)。指数exponent值较大时，这种算法与前两种O(exponent)算法相比具有明显的速度优势。例如，如果指数为2²⁰ = 1048576，此算法只需执行20步，而非1,048,576步。

Lua实现

function modPow(b,e,m)
        if m == 1 then
                return 0
        else
                local r = 1
                b = b % m
                while e > 0 do
                        if e % 2 == 1 then
                                r = (r*b) % m
                        end
                        e = e >> 1     --Lua 5.2或更早版本使用e = math.floor(e / 2)
                        b = (b^2) % m
                end
                return r
        end
end

软件实现

鉴于模幂运算是计算机科学中的重要操作，并且已有高效算法，所以许多编程语言和高精度整数库都有执行模幂运算的函数：

• Python内置的pow()（求幂）函数[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• .NET框架的BigInteger类的ModPow()方法
• Java的java.math.BigInteger类的modPow()方法
• Perl的Math::BigInt模块的bmodpow()方法[2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Raku内置的expmod例程
• Go的big.Int类的Exp()（求幂）方法[3] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• PHP的BC Math库的bcpowmod()函数[4] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• GNU多重精度运算库（GMP）的mpz_powm()函数[5] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• FileMaker Pro的@PowerMod()函数（以1024位RSA加密为例）
• Ruby的openssl包的OpenSSL::BN#mod_exp方法[6] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• HP Prime计算器的CAS.powmod()函数[7]^{[失效連結]}

另见

• 蒙哥马利算法，用于计算模很大时的余数。

参考资料

1. Weak Diffie-Hellman and the Logjam Attack. weakdh.org. [2019-05-03]. （原始内容存档于2021-03-29）.
2. Schneier 1996, p. 244.

外部链接

• Schneier, Bruce. Applied Cryptography: Protocols, Algorithms, and Source Code in C, Second Edition 2nd. Wiley. 1996. ISBN 978-0-471-11709-4.
• Paul Garrett, Fast Modular Exponentiation Java Applet （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Gordon, Daniel M. A Survey of Fast Exponentiation Methods (PDF). Journal of Algorithms (Elsevier BV). 1998, 27 (1): 129–146 [2019-11-30]. ISSN 0196-6774. doi:10.1006/jagm.1997.0913. （原始内容存档 (PDF)于2019-08-27）.