在数学之概率论中,尤其是随机过程理论中,查普曼-科尔莫戈罗夫等式是一个重要的结论。它将一个随机过程的几个不同维的联合分布函数联系在一起。
假设 { fi } 是一个随机过程,即一个随机变量集合(每个元素对应一个只命名不排序的索引)。
记
![{\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f033579af0d3415ce74a89090983e5f341b46b4)
为从f1到fn的各随机变量的联合分布函数,则查普曼-科尔莫戈罗夫等式为:
![{\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n-1}}(f_{1},\ldots ,f_{n-1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})\,df_{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0681111232c5f909c5ced5732a266f49519776f3)
也就是说,这是一个直接定义在干扰随机变量上的条件概率。 (注意这里各随机变量的顺序不重要)
该公式名称来自数学家西德尼·查普曼和安德雷·柯尔莫哥洛夫。
如果随机过程特定为马尔可夫链,查普曼-科尔莫戈罗夫等式就是关于转移概率的公式。在马尔可夫链中,随机变量在一个按时间排序的数组
中。按马尔可夫性质(无记忆性质),
![{\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}{\mid }f_{n-1}),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9709a429f2c564853f6fd71f6a44f18d9a45e3)
(其中条件概率
是
时间的转移概率。查普曼-科尔莫戈罗夫等式简化为:
![{\displaystyle p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}{\mid }f_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})df_{2}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7e99b0555fb408db2885f9feed88dcd829832e)
如果马尔可夫链的状态空间的概率分布是离散的,查普曼-科尔莫戈罗夫等式可表示为(可到无穷维的)矩阵相乘:
![{\displaystyle P(t+s)=P(t)P(s)\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02438c2ed25c3fd79aa22a3900a5cb204d1e7856)
(其中
是转移矩阵,
是t时间的系统状态),则对于系统状态空间中的任意两个点i和j:
![{\displaystyle P_{ij}(t)=P(X_{t}=j\mid X_{0}=i).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7347d7fcaa99978fce018039ee4aa22ab05637ea)