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在数学的複分析中,施瓦茨—克里斯托费尔(Schwarz-Christoffel)映射是複平面的变换,把上半平面共形地映射到一個多边形。施瓦茨—克里斯托费尔映射可用在位势论和其它应用,包括极小曲面和流体力学中。施—克映射有一个缺陷,它无法较好的处理不规则几何图形和有孔的情况,这个问题已被伦敦皇家学院应用数学教授Darren Crowdy解决。施—克映射的名字取自埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔和赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨。
考虑複平面上一個多边形。黎曼映射定理指出存在一个一一对应解析映射f从上半平面
到多边形的內部。函数f把实数轴映射到多边形的邊。若多边形内角为,那么映射由下式给出:
其中是常数,是平面的实轴上的点的值,对应平面上的多边形的顶点。这形式的变换称为施瓦茨—克里斯托费尔映射。
为了简便,通常会考虑一种特殊情況,就是当平面的无穷远点映射到平面的多边形其中一顶点(习惯是内角为的顶点)。如此,公式的第一个因式实际上是个常数,可以合併进裡。
考虑平面中的半无穷带。这可以视作顶点是, 和的三角形,当趋向无穷大的极限情形。极限时有和。假设我们要找映射f,有f(−1) = Q,f(1) = P,和f(∞) = R,那么f是
计算积分得到
其中是个(複)积分常数。条件和给出和。因此施瓦茨—克里斯托费尔积分是。下图描绘这个映射。
到内角为,和的三角形的映射是
从上半平面到正方形的映射是
其中是第一类不完全椭圆积分。
施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其边是圆弧的三角形。
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