态叠加原理

在量子力学裏，态叠加原理（superposition principle）表明，假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種，則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交，則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。^[1]:316ff

在雙縫實驗裏，從光源${\displaystyle \mathrm {a} }$傳播出來的相干光子束，照射在一塊刻有兩條狹縫${\displaystyle \mathrm {b} }$和${\displaystyle \mathrm {c} }$的不透明擋板${\displaystyle \mathrm {S2} }$。在擋板的後面，擺設了攝影膠捲或某種偵測屏${\displaystyle \mathrm {F} }$，用來紀錄到達${\displaystyle \mathrm {F} }$的任何位置${\displaystyle \mathrm {d} }$的光子數據。最右邊黑白相間的條紋，顯示出光子在偵測屏${\displaystyle \mathrm {F} }$的干涉圖樣。

從數學表述，态叠加原理是薛丁格方程式的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式，任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合（稱為「疊加態」）的解時常會被設定為相互正交（稱為「基底態」），例如氫原子的電子能級態；換句話說，這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣，對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值，是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值，乘以疊加態處於對應基底態的機率之後，所有乘積的總和。

更具體地說明，假設對於某量子系統測量可觀察量${\displaystyle A}$，而可觀察量${\displaystyle A}$的本徵態${\displaystyle |a_{1}\rangle }$、${\displaystyle |a_{2}\rangle }$分別擁有本徵值${\displaystyle a_{1}}$、${\displaystyle a_{2}}$，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle }$也可以是這量子系統的量子態；其中，${\displaystyle c_{1}}$、${\displaystyle c_{2}}$分別為疊加態處於本徵態${\displaystyle |a_{1}\rangle }$、${\displaystyle |a_{2}\rangle }$的機率幅。假設对這疊加態系統测量可观察量${\displaystyle A}$，則測量獲得數值是${\displaystyle a_{1}}$或${\displaystyle a_{2}}$的機率分別為${\displaystyle |c_{1}|^{2}}$、${\displaystyle |c_{2}|^{2}}$，期望值為${\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}}$。

舉一個可直接觀察到量子疊加的實例，在雙縫實驗裏，可以觀察到通過兩條狹縫的光子相互干涉，造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋，這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。

再舉一個案例，在量子運算裏，量子位元是的兩個基底態${\displaystyle |0\rangle }$與${\displaystyle |1\rangle }$的線性疊加。這兩個基底態${\displaystyle |0\rangle }$、${\displaystyle |1\rangle }$的本徵值分別為${\displaystyle 0}$、${\displaystyle 1}$。

理論

在數學裏，疊加原理表明，線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式，疊加原理也適用於量子力學，在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是 ${\displaystyle |f_{1}\rangle }$或${\displaystyle |f_{2}\rangle }$ ，這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合${\displaystyle |f\rangle =c_{1}|f_{1}\rangle +c_{2}|f_{2}\rangle }$，也滿足同樣的薛丁格方程式；其中，${\displaystyle c_{1}}$、${\displaystyle c_{2}}$是複值係數，為了歸一化${\displaystyle |f\rangle }$，必須讓${\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$。

假設${\displaystyle \theta }$為實數，則雖然${\displaystyle e^{i\theta }|f_{2}\rangle }$與${\displaystyle |f_{2}\rangle }$標記同樣的量子態，他們並無法相互替換。例如，${\displaystyle |f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle }$、${\displaystyle |f_{1}\rangle +e^{i\theta }|f_{2}\rangle }$分別標記兩種不同的量子態。但是，${\displaystyle |f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle }$和${\displaystyle e^{i\theta }(|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle )}$都標記同一個量子態。因此可以這樣說，整體的相位因子並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。^[1]:317

電子自旋範例

設想自旋為${\displaystyle 1/2}$的電子，它擁有兩種相互正交的自旋本徵態，上旋態${\displaystyle |\uparrow \rangle }$與下旋態${\displaystyle |\downarrow \rangle }$，它們的量子疊加可以用來表示量子位元：

${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\uparrow }|\uparrow \rangle +c_{\downarrow }|\downarrow \rangle }$；

其中，${\displaystyle c_{\uparrow }}$、${\displaystyle c_{\downarrow }}$分別是複值係數，為了歸一化${\displaystyle |\psi \rangle }$，必須讓${\displaystyle |c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1}$。

這是最一般的量子態。係數${\displaystyle c_{\uparrow }}$、${\displaystyle c_{\downarrow }}$分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率：

${\displaystyle p_{\uparrow }=|c_{\uparrow }|^{2}}$、

${\displaystyle p_{\downarrow }=|c_{\downarrow }|^{2}}$。

總機率應該等於1： ${\displaystyle p=p_{\uparrow }+p_{\downarrow }=|c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1}$。

這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態：

${\displaystyle |\psi \rangle ={3i \over 5}|\uparrow \rangle +{4 \over 5}|\downarrow \rangle }$。

電子處於上旋態或下旋態的機率分別為

${\displaystyle p_{\uparrow }=\left|\;{\frac {3i}{5}}\;\right|^{2}={\frac {9}{25}}}$、

${\displaystyle p_{\downarrow }=\left|\;{\frac {4}{5}}\;\right|^{2}={\frac {16}{25}}}$。

再次注意到總機率應該等於1：

${\displaystyle p={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1}$。

非相對論性自由粒子案例

描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為^[1]:331-336

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$；

其中，${\displaystyle \hbar }$是約化普朗克常數，${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$是粒子的波函數，${\displaystyle \mathbf {r} }$是粒子的位置，${\displaystyle t}$是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {k} }$是波向量，${\displaystyle \omega }$是角頻率。

代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$。

由於粒子存在的機率等於1，波函數${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$必須歸一化，才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\mathrm {d} \mathbf {k} }$；

其中，積分區域${\displaystyle \mathbb {K} }$是${\displaystyle \mathbf {k} }$-空間。

為了方便計算，只思考一維空間，

${\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\ \mathrm {d} k}$；

其中，振幅${\displaystyle A(k)}$是量子疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數表示為

${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x}$；

其中，${\displaystyle \Psi (x,0)}$是在時間${\displaystyle t=0}$的波函數。

所以，知道在時間${\displaystyle t=0}$的波函數${\displaystyle \Psi (x,0)}$，通過傅立葉變換，可以推導出在任何時間的波函數${\displaystyle \Psi (x,t)}$。

參見

• 叠加原理
• 波函数
• Delta 位勢阱
• Delta 位勢壘

參考文獻

1. French, Anthony, An Introduction to Quantum Physics, W. W. Norton, Inc., 1978, ISBN 978-0-393-09106-9

• Bohr, N. (1927/1928). The quantum postulate and the recent development of atomic theory, Nature Supplement 14 April 1928, 121: 580–590 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. (1973/1977). Quantum Mechanics, translated from the French by S. R. Hemley, N. Ostrowsky, D. Ostrowsky, second edition, volume 1, Wiley, New York, ISBN 0471164321.
• Dirac, P. A. M. (1930/1958). The Principles of Quantum Mechanics, 4th edition, Oxford University Press.
• Einstein, A. (1949). Remarks concerning the essays brought together in this co-operative volume, translated from the original German by the editor, pp. 665–688 in Schilpp, P. A. editor (1949), Albert Einstein: Philosopher-Scientist （页面存档备份，存于互联网档案馆）, volume II, Open Court, La Salle IL.
• Feynman, R. P., Leighton, R.B., Sands, M. (1965). The Feynman Lectures on Physics, volume 3, Addison-Wesley, Reading, MA.
• Merzbacher, E. (1961/1970). Quantum Mechanics, second edition, Wiley, New York.
• Messiah, A. (1961). Quantum Mechanics, volume 1, translated by G.M. Temmer from the French Mécanique Quantique, North-Holland, Amsterdam.
• Wheeler, J. A.; Zurek, W.H. Quantum Theory and Measurement. Princeton NJ: Princeton University Press. 1983.