弧度

弧度（英語：radian）或弳度，符号${\displaystyle rad}$，是平面角的一種計量單位，屬於國際單位制導出單位。單位弧度定義為圓弧長度等於半徑時的圓心角^{[註 1]}。因此在弧度制下，度量平面角的大小是以两射线交点为圆心的圆被射线所截的弧长与半径之比。

提示：此条目页的主题不是曲率。

單位弧度

常見的各種弧度

一個完整圓的弧度是${\displaystyle 2\pi }$，所以弧度制下的${\displaystyle 1\pi }$等於360度制下的180°。

轉換

以度數表示的角，把數字乘以${\displaystyle {\frac {\pi }{180^{\circ }}}}$便轉換成弧度；以弧度表示的角，乘以${\displaystyle {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$便轉換成度數。

${\displaystyle \pi =180^{\circ }}$

${\displaystyle 1={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }}$

${\displaystyle 1^{\circ }=1^{\circ }\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.0175}$

微積分學中，三角函數的角度要採用弧度為單位，以獲得正確的計算結果。

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}=1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x^{2}=2x\cos x^{2}}$

把三角函數寫成泰勒级数，則必須以弧度表示。

一單位弳度等於一半徑長的弧所佔的角度

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \quad \!}$

相同角度的轉換表

角度單位	值
轉	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$	${\displaystyle 1}$
角度	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle 360^{\circ }}$
弧度	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi }$
梯度	${\displaystyle 0^{g}}$	${\displaystyle 33{\frac {1}{3}}^{g}}$	${\displaystyle 50^{g}}$	${\displaystyle 66{\frac {2}{3}}^{g}}$	${\displaystyle 100^{g}}$	${\displaystyle 200^{g}}$	${\displaystyle 300^{g}}$	${\displaystyle 400^{g}}$

注释

1. 角以弧度給出時，通常不寫弧度單位，或有時記為rad（㎭）。平面角和立體角皆無因次。

參見

• 角度
• 球面度

參考文獻

• ISO 31-1
• ISO/IEC 80000-3

^[1]

外部連結

• Radian （页面存档备份，存于互联网档案馆） at MathWorld
• 弧度 （页面存档备份，存于互联网档案馆） | [科學Online]

1. 存档副本. [2020-10-23]. （原始内容存档于2022-03-07）.