在向量微积分 中，弗勒内-塞雷公式 （Frenet–Serret 公式 ）用来描述欧几里得空间 R 3 曲线 上的运动。更具体的说，弗勒内公式描述了曲线的切向，法向，副法方向 之间的关系。这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内 （于1847年的博士论文中）和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷 （于1851年）分别提出。
空间曲线的切向量 T ，法向量 N 和副法向量 B ；以及切向量和法向量张成的密切平面 。 单位切向量 T ，单位法向量 N ，单位副法向量 B ，被称作 弗勒内标架 ，他们的具体定义如下：
T 是单位切向量 ，方向指向粒子运动的方向。N 是切向量 T 对弧长参数 的微分单位化得到的向量。B 是 T 和 N 的外积 。弗勒内公式如下：
d
T
d
s
=
κ
N
,
d
N
d
s
=
−
κ
T
+
τ
B
,
d
B
d
s
=
−
τ
N
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d\mathbf {T} }{ds}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\dfrac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\dfrac {d\mathbf {B} }{ds}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}}
其中d /ds 是对弧长的微分， κ 为曲线的曲率 ，τ 为曲线的挠率 。弗勒内公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。
平面曲线上的亮点的切向量和法向量，以及标架在运动过程中的旋转。 记r (t) 为欧式空间 R 3 曲线 ，表示粒子在时间 t 时刻的位置向量 。 弗勒内公式只适用于正则曲线，即速度 向量r ′(t)和加速度 向量r ′′(t)不为零的曲线。
记 s(t) 为 t 时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长 ：
s
(
t
)
=
∫
0
t
‖
r
′
(
τ
)
‖
d
τ
.
{\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\|\mathbf {r} '(\tau )\|d\tau .}
由于假设r ′ ≠ 0，因此可以将 t 表示为 s 的函数，因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r (s) = r (t (s ))。 s 通常也被称为曲线的弧长参数。
对于由弧长参数定义的正则曲线 r (s )，弗勒内标架 (或弗勒内基底 )定义如下：
T
=
d
r
d
s
.
(
1
)
{\displaystyle \mathbf {T} ={d\mathbf {r} \over ds}.\qquad \qquad (1)}
N
=
d
T
d
s
‖
d
T
d
s
‖
.
(
2
)
{\displaystyle \mathbf {N} ={{\frac {d\mathbf {T} }{ds}} \over \left\|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right\|}.\qquad \qquad (2)}
B
=
T
×
N
.
(
3
)
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} .\qquad \qquad (3)}
螺旋线 上弗勒内标架的运动。蓝色的箭头表示切向量，红色的箭头表示法向量，黑色的箭头表示副法向量。由于
|
T
|
=
1
,
d
(
T
⋅
T
)
d
s
=
2
T
⋅
N
=
0
,
{\displaystyle |\mathbf {T} |=1,{\frac {d(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )}{ds}}=2\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} =0,}
N 与 T 垂直。 方程 (3) 说明 B 垂直于 T 和 N ，因此向量 T ，N ，B 互相垂直。
弗勒内公式如下：
d
T
d
s
=
κ
N
d
N
d
s
=
−
κ
T
+
τ
B
d
B
d
s
=
−
τ
N
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=&&\kappa \mathbf {N} &\\&&&&\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=&-\kappa \mathbf {T} &&+\,\tau \mathbf {B} \\&&&&\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&&-\tau \mathbf {N} &\end{matrix}}}
其中 κ 为曲线的曲率 ，τ 为曲线的挠率 。
弗勒内公式有时也被称作弗勒内定理 ，并且可以写做矩阵的形式：[ 1]
[
T
′
N
′
B
′
]
=
[
0
κ
0
−
κ
0
τ
0
−
τ
0
]
[
T
N
B
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}
其中的矩阵是反对称矩阵 。
对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。
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