幂集公理

在数学中，幂集公理是公理化集合论的Zermelo-Fraenkel公理之一。

在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读做：

${\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff (\forall y:y\in x\implies y\in A)}$

或简写为：

${\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff x\subseteq A}$

换句话说：

给定任何集合A，有着一个集合${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$使得，给定任何集合x，x是${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$的成员，当且仅当x是A的子集。

通过外延公理可知这个集合是唯一的。我们可以称集合${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$是A的幂集。所以这个公理的本质是：

所有集合都有一个幂集。

幂集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命題出现在所有可替代的集合论的公理化中。

推论

幂集公理允许定义两个集合${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的笛卡儿积：

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}}$。

笛卡儿积是个集合因为

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$。

你可以递归定义集合的任何有限的搜集的笛卡儿积：

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}}$。

注意笛卡儿积的存在性在不包含幂集公理的Kripke-Platek集合论（英语：Kripke–Platek set theory）中是可证明的。

引用

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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注释