實閉域

在數學中，實閉域或實封閉域是一類有序域，使得其中每個正元素皆可表為平方，且任何奇數次多項式都有根。以下將給出幾種等價的定義。

定義

形式實域

假設所論之域的特徵數皆為零。若在一個域${\displaystyle F}$中，${\displaystyle -1}$無法寫成平方和（表法：${\displaystyle -1\neq \sum F^{2}}$），則稱${\displaystyle F}$是形式實的。

每個有序域都是形式實域；形式實的定義本身不涉及序結構，但藉由實閉包的存在性可證明每個形式實域皆帶序結構。

實封閉域

一個實封閉域${\displaystyle F}$若滿足下列等價條件，則稱之實封閉域：

• ${\displaystyle F}$上存在一個序結構，使得其中每個正元素皆可表為平方，且任何奇數次多項式都有根。
• ${\displaystyle F}$上存在一個序結構，使之滿足中間值定理。
• 對任意${\displaystyle a\in F}$，或者${\displaystyle a\in F^{2}}$或者${\displaystyle -a\in F^{2}}$；且任何奇數次多項式都有根。
• ${\displaystyle F}$非代數封閉，而${\displaystyle F({\sqrt {-1}})}$代數封閉。
• 若${\displaystyle F'\supset F}$，${\displaystyle F'}$是形式實的，則${\displaystyle F'=F}$。

我們可以純以代數性質定義實封閉域，並由${\displaystyle a>0\Leftrightarrow a\in F^{2},a\neq 0}$得到唯一的序結構。

實閉包

對任何形式實域${\displaystyle F}$，都存在代數擴張${\displaystyle R\subset F}$，使得${\displaystyle R}$是實封閉的。我們稱${\displaystyle R}$是${\displaystyle F}$的一個實閉包。實閉包並不唯一。

若在${\displaystyle F}$上固定一個序結構，並要求${\displaystyle R}$的序結構與之相容；則此時實閉包${\displaystyle R}$存在並唯一，且${\displaystyle \mathrm {Aut} (R/F)=\{\mathrm {id} _{R}\}}$。

例子

• 實數域${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \mathbb {R} \cap \mathbb {Q} ^{\mathrm {alg} }}$；它是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的實閉包。
• 可計算數
• Puiseux級數

模型論觀點

實封閉域的研究首先由數學家展開，隨後引起了邏輯學家的興趣。採用形式語言${\displaystyle {\mathcal {L}}:=\langle +,-,\cdot ,>\rangle }$，設${\displaystyle \mathrm {RCF} }$為實封閉域（帶序結構）的${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-一階理論，塔斯基證明了${\displaystyle \mathrm {RCF} }$上有量詞消去；因此任兩個${\displaystyle \mathrm {RCF} }$的模型都是初等等價的。一方面，我們可運用${\displaystyle \mathbb {R} }$上的特有工具（微積分、拓撲等等）證明一般實封閉域上的一階句子；另一方面，則可透過適當的域擴張解決${\displaystyle \mathbb {R} }$上的問題，後一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 對希爾伯特第十七問題的證明。

如果改採形式語言${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-}:=\langle +,-,\cdot \rangle }$，並取實封閉域的代數定義${\displaystyle \mathrm {RCF} ^{-}}$，此時則無法消去量詞（在${\displaystyle \mathrm {RCF} ^{-}}$中考慮公式${\displaystyle \exists y\;y=x^{2}}$）。

設${\displaystyle R}$是實封閉域，換言之${\displaystyle R\models _{\mathcal {L}}\mathrm {RCF} }$，根據${\displaystyle \mathrm {RCF} }$上的量詞消去，${\displaystyle R}$上的可定義集只是有限多個線段與孤立點的聯集。此性質稱作O-極小性，它較量詞消去為弱，卻是研究${\displaystyle R^{n}}$上可定義集的幾何構造之關鍵。

量詞消去也蘊含${\displaystyle \mathrm {RCF} }$的可判定性，然而塔斯基給出的演算法其複雜度過高，並不實用。

若承認廣義連續統假設，則可進一步以超積描述實封閉域的性狀。

文獻

• Chang, Chen Chung and Keisler, H. Jerome: Model Theory, North-Holland, 1989.
• H. Garth Dales and W. Hugh Woodin: Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
• Computational Real Algebraic Geometry, Bhubaneswar Mishra, Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, 1997 (Postscript 版本 （页面存档备份，存于互联网档案馆）); 亦見 2004 edition, p. 743, ISBN 1-58488-301-4
• Saugata Basu, Richard Pollack and Marie-Françoise Roy, Algorithms in real algebraic geometry, Springer, Algorithms and computation in mathematics, 2003, ISBN 3540330984 (在線版本)
• Bob F. Caviness, Jeremy R. Johnson, editors, Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition, Springer, 1998, ISBN 3211827943