子集和問題
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子集和問題(英語:Subset sum problem),又称子集合加總問題,是計算複雜度理論和密碼學中一個很重要的問題。问题可以描述为:給一個整數集合,問是否存在某個非空子集,使得子集内中的數字和為某个特定数值。例:給定集合{−7, −3, −2, 5, 8},是否存在子集和为0的集合?答案是YES,因為子集{−3, −2, 5}的數字和是0。這個問題是NP完全问题,且或許是最容易描述的NP完全問題。
此條目没有列出任何参考或来源。 (2015年1月22日) |
一個等價的問題是:給一個整數集合和另一個整數s,問是否存在某個非空子集,使得子集中的數字和為s。子集合加总问题可以想成是背包問題的一個特例。
用动态规划的方法,能够以伪多项式时间解决子集合加总问题。我们假定输入序列为:
我们需要判断是否存在某个非空子集,使得子集中的数字和为0。我们序列中负数的和为N,正数的和为P。定义函数Q(i, s),它的涵义为:
子集合加总问题的答案即为Q(n, 0)。
显然,如果s < N或者s > P,则Q(i,s) = false,因此无需记录这些值。我们把Q(i, s)的值保存在数组中,其中1 ≤ i ≤ n且N ≤ s ≤ P。
接下来使用循环来填充数组。首先,对于N ≤ s ≤ P,设定
随后,对于i = 2, …, n和N ≤ s ≤ P,设定
算法运行的总时间为O(n(P - N))。
对算法加以改动,即可返回和为0的子集。
在计算复杂度理论中,这种解法需要的时间并不算多项式时间,这是因为P - N同输入大小并不成线性关系。原因在于输入大小仅仅取决于表达输入所需要的位元數。算法的时间复杂度同N与P的值成线性关系,而它们的值与表达它们所需的位元數成幂关系。