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微積分的定理 来自维基百科,自由的百科全书
夾擠定理(英語:Squeeze theorem),又稱夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理,是有關函數的極限的数学定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同,且有第三個函數的值在這兩個函數之間,则第三個函數在該點的極限也相同[1]。
設為包含某點的區間,為定義在上,可能不包含a点的函數。若對於所有屬於而不等於的,有:
則。
若在的端點,上面的極限是左極限或右極限。 對於,這個定理還是可用的。
对于 ,
在任何包含0的區間上,除了,均有定義。
對於實數值,正弦函數的絕對值不大於1,因此的絕對值也不大於。設, :
,根據夾擠定理
对于 ,
首先用幾何方法證明:若,。
稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。在上,使得垂直。過作單位圓的切線,與的延長線交於。
由定義可得,。
因為,根據夾擠定理
另一邊的極限可用這個結果求出。
高斯函數的積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。 一般高斯函數的積分是,現在要求的是。
被積函數對於y軸是對稱的,因此是被積函數對於所有實數的積分的一半。
這個二重積分在一個的正方形內。它比其內切圓大,比外接圓小。這些可用極坐標表示:
若,,而且。
設,根據函數的極限的定義,存在使得:若,則。
由於 ,故。
若 ,則。於是,。
當:
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