埃尔米特插值

不少实际的插值问题不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。

概述

sin(x)+cos(x)的埃尔米特插值

埃尔米特插值是另一类插值问题，这类插值在给定的节点处，不但要求插值多项式的函数值与原函数值相同。同时还要求在节点处，插值多项式的一阶直至指定阶的导数值，也与被插函数的相应阶导数值相等，这样的插值称为埃尔米特(Hermite)插值。 Hermite插值在不同的节点，提出的插值条件个数可以不同，若在某节点${\displaystyle x_{i}}$，要求插值函数多项式的函数值，一阶导数值，直至${\displaystyle m_{i}-1}$阶导数值均与被插函数的函数值相同及相应的导数值相等。我们称${\displaystyle x_{i}}$为${\displaystyle m_{i}}$重插值点节,因此，Hermite插值应给出两组数，一组为插值点${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=0}^{n}}$节点，另一组为相应的重数标号${\displaystyle \{m_{i}\}_{i=0}^{n}}$。
若${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}m_{i}=N+1}$，这就说明了给出的插值条件有${\displaystyle N+1}$个，为了保证插值多项式的存在唯一性，这时的Hermite插值多项式应在${\displaystyle P_{N+1}}$上求得，于是可作如下定义。

定义

${\displaystyle f}$为 ${\displaystyle [a,b]}$ 上充分光滑函数，对给定的插值定节${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=0}^{n}}$，及相应的重数标号${\displaystyle \{m_{i}\}_{i=0}^{n}}$，${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}m_{i}=N+1}$时，若有${\displaystyle H(x)\in P_{n}}$满足

${\displaystyle H^{l}(x_{i})=f(x_{i}){\mbox{ , }}l=0,1,\ldots ,m_{i-1};i=0,1,\ldots ,n.}$

则称${\displaystyle H(x)}$ 为${\displaystyle f(x)}$关于节点${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=0}^{n}}$及重数标号${\displaystyle \{m_{i}\}_{i=0}^{n}}$的Hermite插值多项式。

二重Hermite插值多项式

常用的Hermite插值为m_i=2 的情况，即给定的插值节点{x_i}ⁿ_i=0 均为二重节点，更具体些，${\displaystyle f(x)\in C^{2}([a,b])}$，及插值节点{x_i}ⁿ_i=0，若有${\displaystyle H_{2n+1}(x)\in P_{2n+1}}$ 满足

${\displaystyle H_{2n+1}(x_{i})=f(x_{i})}$

${\displaystyle H_{2n+1}^{'}(x_{i})=f^{'}(x_{i}){\mbox{ , }}i=0,1,\ldots ,n}$，就称H_{2n + 1}(x)为f(x) 关于节点{x_i}ⁿ_i=0 的二重Hermite插值多项式。

唯一性定理

f(x)关于节点{x_i}ⁿ_i=0的二重Hermite插值多项式存在且唯一。

误差定理

若${\displaystyle f\in C^{2n+2}([a,b])}$，则为f(x)关于${\displaystyle [a,b]}$上节点{x_i}ⁿ_i=0的二重Hermite插值多项式误差为

${\displaystyle R_{2n+1}(x)=f(x)-H_{2n+1}(x)={\frac {f^{(2n+2)}(\xi )}{(2n+2)!}}\ w_{n}^{2}(x)}$

这里

min{x0,x1,...,xn,x}≤ξ=ξ(x)≤max{x0,x1,...,xn,x}

参考文献

• 韩丹夫，吴庆标.数值计算方法.浙江：浙江大学出版社，2006.6.
• Michelle Schatzman (2002). Numerical Analysis: A Mathematical Introduction, Chapter 4. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-850279-6.
• Endre Süli and David Mayers (2003). An Introduction to Numerical Analysis, Chapter 6. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.