垂线偏差

垂线偏差（英語：Vertical deflection）指地球表面上某一点处垂线方向和法线方向的差异，也即重力异常矢量的方向。^[1]垂线偏差可以表示为当地天文坐标与地理坐标之间的差异，其中前者在水准面上通过重力测量的方式确定，而后者是天文坐标投影到椭球面上的位置。对垂线偏差的数学描述通常以法线为基准。^[2]

蓝色直线为过交点的垂线方向，红色直线为过交点的法线方向，两者间的差异即为垂线偏差

数学表达

设 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 为大地水准面上一点，其所处的垂线方向为 ${\displaystyle \mathbf {n} }$，通过重力测量方式测得的天文坐标为 ${\displaystyle \left(\Phi ,\Lambda \right)}$ 。将其沿参考椭球面的法线 ${\displaystyle \mathbf {n'} }$ 投影至椭球面上的点 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$，得到其地理坐标为 ${\displaystyle \left(\varphi ,\lambda \right)}$ 。在实际测量过程中，常以其在南北方向（即子午圈方向）上的投影 ${\displaystyle \xi }$ 和其在东西方向（即卯酉圈方向）上的投影 ${\displaystyle \eta }$ 描述：

${\displaystyle {\begin{cases}\xi =\Phi -\varphi \\\eta =(\Lambda -\lambda )\cos {\varphi }\end{cases}}}$

与重力异常和重力扰动的关系

设 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 点处测量得到的真实重力矢量为 ${\displaystyle {\vec {\mathbf {g} }}_{P}}$，而 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 点处计算得到的正常重力矢量为 ${\displaystyle {\vec {\mathbf {\gamma } }}_{Q}}$，则 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 点处的重力异常矢量为：^[1]

${\displaystyle \Delta {\vec {\mathbf {g} }}={\vec {\mathbf {g} }}_{P}-{\vec {\mathbf {\gamma } }}_{Q}}$

又设 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 点处测量得到的正常重力矢量为 ${\displaystyle {\vec {\mathbf {\gamma } }}_{P}}$，则 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 点处的重力扰动矢量为：^[1]

${\displaystyle \delta {\vec {\mathbf {g} }}={\vec {\mathbf {g} }}_{P}-{\vec {\mathbf {\gamma } }}_{P}}$

重力异常矢量和重力扰动矢量的方向同为垂线偏差的方向，因为 ${\displaystyle \mathbf {P} }$、${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 两点的正常重力方向在同一条直线上。

与大地水准面高的关系

大地水准面高即为两点间的距离 ${\displaystyle PQ}$ ，垂线偏差亦可表示为大地水准面高的泛函。以一过垂线的垂直面截取点 ${\displaystyle \mathbf {P} }$，垂线偏差在此平面内的分量 ${\displaystyle \varepsilon }$ 与大地水准面高 ${\displaystyle N}$ 和大地水准面上的弧微分 ${\displaystyle \operatorname {d} \!s}$ 存在如下几何关系：

${\displaystyle \tan \varepsilon =-\operatorname {d} \!N/\operatorname {d} \!s}$

习惯上取沿法线向下的方向为正，因此上式中的 ${\displaystyle -\operatorname {d} \!N}$ 为负值。又因垂线偏差的分量 ${\displaystyle \varepsilon }$ 是微小量，即 ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$ ，因此上式也可写成：

${\displaystyle \varepsilon =-\operatorname {d} \!N/\operatorname {d} \!s\quad ({\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0})}$

再以地球平均半径 ${\displaystyle R}$ 替代点 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 在各法截面上的曲率半径，得到大地水准面上弧微分的近似计算公式为

${\displaystyle {\operatorname {d} \!s}^{2}=R^{2}{\operatorname {d} \!\varphi }^{2}+R^{2}{\cos }^{2}{\varphi }^{2}{\operatorname {d} \!\lambda }^{2}}$

分别取垂直面分别与子午圈平行（即 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\lambda =0}$）和与卯酉圈平行（即 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi =0}$），得到垂线偏差的两个分量与大地水准面高的关系为：^[2]

${\displaystyle {\begin{cases}\xi =-{\frac {1}{R}}{\partial N \over \partial \varphi }\\\eta =-{\frac {1}{R\cos \varphi }}{\partial N \over \partial \lambda }\end{cases}}}$

参见

• 法线
• 铅垂线
• 参考椭球面
• 大地水准面
• 重力异常
• 重力扰动

参考文献

1. Sneeuw, Nico. Physical Geodesy (PDF). Institute of Geodesy Universität Stuttgart. 2006: 104–108 [2020-04-02]. （原始内容 (PDF)存档于2020-04-13）.
2. 宁津生. 管泽霖 , 编. 地球形状及外部重力场. 测绘出版社. 1981: 243–249.