圓柱坐標系

圓柱坐標系（英語：cylindrical coordinate system）是一種三維坐標系統。它是二維極坐標系往 z-軸的延伸。添加的第三個坐標 ${\displaystyle z}$ 專門用來表示${\displaystyle P}$點離 xy-平面的高低。按照國際標準化組織建立的約定 (ISO 31-11) ，徑向距離、方位角、高度，分別標記為 ${\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}$ 。

用圓柱坐標 ${\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}$ 來表示一個點的位置

定義

圓柱坐標 ${\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}$ 的坐標曲面。紅色圓柱面的 ${\displaystyle \rho =2}$ 。藍色平面的 ${\displaystyle z=1}$ 。黃色半平面的 ${\displaystyle \phi =-60^{\circ }}$ 。 z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點${\displaystyle P}$（以黑球表示）。點${\displaystyle P}$的直角坐標大約為 ${\displaystyle (1.0,\ -1.732,\ 1.0)}$ 。

如圖右，${\displaystyle P}$點的圓柱坐標是 ${\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}$ 。

• ${\displaystyle \rho }$ 是${\displaystyle P}$點與 z-軸的垂直距離。
• ${\displaystyle \phi }$ 是線${\displaystyle OP}$在 xy-面的投影線與正 x-軸之間的夾角。
• ${\displaystyle z}$ 與直角坐標的 ${\displaystyle z}$ 等值。

符號約定

圓柱坐標系的記號並不統一。ISO標準31-11推薦${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$，這裡的${\displaystyle \rho }$是徑向距離，${\displaystyle \varphi }$是方位角，而${\displaystyle z}$是高度。但是，徑向距離也常表示為${\displaystyle r}$^[1]或${\displaystyle s}$，方位角也常表示為${\displaystyle \theta }$或${\displaystyle t}$，高度坐標也常表示為${\displaystyle h}$或${\displaystyle x}$（如果圓柱軸被認為是水平的）或任何特定於上下文的字母。

坐標系變換

三維空間裏，有許多各種各樣的坐標系。圓柱坐標系只是其中一種。圓柱坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

直角坐標系

更多信息：直角坐標系

使用以下方程式，可以從直角坐標變換為圓柱坐標：

${\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ 、

${\displaystyle {\phi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$ 、

${\displaystyle z=z}$ 。

特別注意，當求取方位角時，必須依照 ${\displaystyle (x,\ y)}$ 所處的象限來計算正確的反正切值。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為直角坐標：

${\displaystyle x=\rho \cos \phi }$ 、

${\displaystyle y=\rho \sin \phi }$ 、

${\displaystyle z=z}$ 。

球坐標系

用球坐標 ${\displaystyle (r,\ \theta ,\ \phi )}$ 來表示一個點的位置

更多信息：球坐標系

使用以下方程式，可以從球坐標變換為圓柱坐標：

${\displaystyle \rho =r\sin \theta }$、

${\displaystyle \phi =\phi }$ 、

${\displaystyle z=r\cos \theta }$ 。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為球坐標：

${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$ 、

${\displaystyle \theta =\arctan {\frac {\rho }{z}}}$ 、

${\displaystyle \phi =\phi }$ 。

圆柱坐标系下的微积分公式

圓柱坐標系的坐標因子分別為

${\displaystyle h_{\rho }=1}$ 、

${\displaystyle h_{\phi }=\rho }$ 、

${\displaystyle h_{z}=1}$ 。

在許多關於圓柱坐標系的問題中，我們時常需要知道線元素與體積元素的方程式；用這些方程式來求解關於徑長或體積的積分問題。線元素是

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,\mathbf {\hat {z}} }$ 。

面積元素是

${\displaystyle \mathrm {d} S=\rho \,d\varphi \,dz}$ 。

體積元素是

${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z}$ 。

劈形算符表示為

${\displaystyle \nabla ={\boldsymbol {\hat {\rho }}}{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\mathbf {\hat {z}} {\frac {\partial }{\partial z}}}$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial \Phi \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}\Phi \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial z^{2}}}$ 。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ， ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用 ${\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

圓柱坐標常被用來分析，選用 z-軸為對稱軸，有軸對稱特性的物體。例如，一個無限長的圓柱，具有直角坐標方程式 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}}$；用圓柱坐標來表示，有一個非常簡易的方程式 ${\displaystyle \rho =c}$。這也是圓柱坐標系名稱的由來。

参见

• 在圆柱和球坐标系中的del

參考資料

1. David K. Cheng. Field and Wave Electromagnetics. 2014: 第33頁. ISBN 9781292026565.

參閱