泊肃叶定律

泊肃叶定律（英語：Poiseuille's law）^[1]也稱為泊谡叶方程、帕醉定律、哈根-泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille's law）、哈根-帕醉方程（Hagen-Poiseuille's equation），是描述流體流经细管（如血管和导尿管等）所產生的壓力損失，壓力損失和體積流率、動黏度和管長的乘積成正比，和管径的四次方成反比例。此定律適用於不可壓縮、不具有加速度、層流穩定且長於管徑的牛頓流體。泊肃叶定律是让·泊肃叶（英语：Jean Léonard Marie Poiseuille）于1838年和戈特希尔夫·哈根（英语：Gotthilf Hagen）于1838和1839年分别实验独立发现的，並于1840年和1846年发表。

让·泊肃叶

泊肃叶定律的应用前提有七：

1. 假设液体是不可压缩流體；
2. 假设液体是牛顿流体，即它的粘滞系数不随流速而改变；
3. 假设液体的流动是层流，而不是湍流，即管的直径不能太大。
4. Fully Develop，液體在管內速度場為全展開
5. Steady state, 穩定流態
6. Circular pipe, 流體在圓形管內流動
7. 忽略End effect 終端效應

公式

標準流體力學的表示法

以下是用標準流體力學表示法下的泊肃叶定律：^[2][3]

${\displaystyle \Delta P={\frac {8\mu LQ}{\pi r^{4}}}}$

或

${\displaystyle \Delta P={\frac {128\mu LQ}{\pi d^{4}}}}$

其中

${\displaystyle \Delta P}$是壓力損失

${\displaystyle L}$是細管長度

${\displaystyle \mu }$是黏度

${\displaystyle Q}$是體積流率

${\displaystyle r}$是半徑

${\displaystyle d}$是直徑

物理表示法

${\displaystyle \Phi ={\frac {dV}{dt}}=v\pi R^{2}={\frac {\pi R^{4}}{8\eta }}\left({\frac {-\Delta P}{\Delta x}}\right)={\frac {\pi R^{4}}{8\eta }}{\frac {|\Delta P|}{L}}}$

其中的單位如下，單位則是以相容的單位為主（例如國際單位制）

${\displaystyle \Phi }$是體積流率（標準流體力學表示法中的${\displaystyle Q}$）

${\displaystyle V(t)}$是流過的液體體積函數，參數為時間${\displaystyle t}$

${\displaystyle v}$是沿著細管的平均流體速度

${\displaystyle x}$是沿著流體流動方向的距離

${\displaystyle R}$是細管的內半徑

${\displaystyle \Delta P}$是細管兩端的壓力損失

${\displaystyle \eta }$是動黏度，SI制單位為Pa·s

${\displaystyle L}$是細管的長度

此公式在細管进口段的誤差較大^[4]:3。

此公式不適用在低黏度、短管、寬管或流體流速高的條件下。低黏度、高流速或寬管的條件會產生紊流，導致該流體的壓力差較此定律所預測的值為大。因此需要用到像是达西-韦史巴赫方程之類較複雜的模型。若管子太短，泊肃叶定律會計算出不實際的高體積流率。此公式所計算出的流體流率，被限制在較寬鬆條件的伯努利定律結果之內：

${\displaystyle \Phi _{max}=\pi R^{2}{\sqrt {2\Delta P/\rho }}}$

推導

管子中的層流，其速度分布呈拋物線

泊肃叶定律可以由纳维－斯托克斯方程推導而來，但若已知管子中的層流，其速度分布呈拋物線^[5]：

${\displaystyle v=-{\frac {1}{4\eta }}{\frac {\Delta P}{\Delta x}}(R^{2}-r^{2})}$

在相同直徑處的速度也會相同，因此將相同直徑處的流體視為一薄層，流過薄層流體的體積流量等於速度乘以薄層的截面積：

${\displaystyle \Phi (r)dr={\frac {1}{4\eta }}{\frac {|\Delta P|}{\Delta x}}(R^{2}-r^{2})2\pi rdr={\frac {\pi }{2\eta }}{\frac {|\Delta P|}{\Delta x}}(rR^{2}-r^{3})dr}$

再將上述的量對半徑r積分，即可得到總流量。

${\displaystyle \Phi ={\frac {\pi }{2\eta }}{\frac {|\Delta P|}{\Delta x}}\int _{0}^{R}(rR^{2}-r^{3})\,dr={\frac {|\Delta P|\pi R^{4}}{8\eta \Delta x}}}$

和达西-韦史巴赫方程的關係

泊肃叶定律不只是有關壓力損失和流速的公式，也和管子中的層流，其速度分布呈拋物線有關^[5]。不過只要推定紊流下的有效紊流黏度，也可以將上述壓力損失的公式延伸到紊流的情形，即使紊流速度分布已不呈拋物線也沒關係。在層流和紊流的情形下，壓力損失都和管壁的應力有關，由管壁應力可以定義所謂的摩擦因數。在水力学的領域中，管壁應力可以用达西-韦史巴赫方程求得，其中摩擦因數表示為和雷諾數和其他物理量的函數。若在層流的情形下：

${\displaystyle \Lambda ={64 \over {\it {\mathrm {Re} }}}\;,\quad \quad \mathrm {Re} ={2\rho vr \over \eta }\;,}$

其中

${\displaystyle \Lambda }$為摩擦因數

${\displaystyle Re}$為雷諾數

${\displaystyle \rho }$為流體密度

${\displaystyle v}$為平均流體速度，在層流的情形下會是最大流體速度的一半

上述式子用平均流體速度來定義雷諾數，因此其實用性提高。因為在紊流其最大流體速度很難計算。此公式可以近似达西摩擦因数。${\displaystyle \Lambda }$是圓型管子下流速很低的層流下的摩擦因數。韦德曼（Wiedman）曾在1856年獨立的進行和此定律型式稍微不同的定律的推導，諾伊曼和哈根巴赫（E. Hagenbach）也曾在1858年推導過型式不完全一様的定律。哈根巴赫是第一個稱此定律為泊肃叶定律的人。

泊肃叶定律在生理学中的血液流变学和血液動力学（英语：hemodynamics）中非常的重要^[6]。

1891年時L. R. Wilberforce以哈根巴赫的研究為基礎，將泊肃叶定律擴展到紊流的領域中。

可壓縮流體下的泊肃叶定律

若管中的是可壓縮流體，其體積流率及線速度會延著管子變化。流體一般會以出口處的壓力來表示，當流體壓縮或是膨脹時，流體會作功，溫度可能上昇或是下降，因此流體流率和流體與外界的熱交換有關。若是在等温过程下的理想氣體，也就是氣體溫度和外界平衡時，而且管子兩端的壓力差很小時，其出口處的體積流率可以表示如下式：

${\displaystyle \Phi ={\frac {dV}{dt}}=v\pi R^{2}={\frac {\pi R^{4}\left(P_{i}-P_{o}\right)}{8\eta L}}\times {\frac {P_{i}+P_{o}}{2P_{o}}}={\frac {\pi R^{4}}{16\eta L}}\left({\frac {P_{i}^{2}-P_{o}^{2}}{P_{o}}}\right)}$

其中

${\displaystyle P_{i}}$為入口壓力

${\displaystyle P_{o}}$為出口壓力

${\displaystyle L}$為管長

${\displaystyle \eta }$為動黏度

${\displaystyle R}$為半徑

${\displaystyle V}$為出口處的流體體積

${\displaystyle v}$為出口處的流體速度

當流體的馬赫數小於0.3時，可以用上式近似實際的體積流率。

上式可以視為是增加一修正係數${\displaystyle {\frac {P_{i}+P_{o}}{2}}\times {\frac {1}{P_{o}}}}$的泊肃叶定律，修正係數是考慮平均壓力相對於出口壓力的比例。

和電路的類比

電子一開始也是當作一種流體來了解，水力類比（英语：hydraulic analogy）的概念在了解電子電路上仍十分有用。這種類比方式也用來研究流體機械網路的頻率響應，其中流體機械網路會以液压回路（英语：hydraulic circuit）來表示。

泊肃叶定律對應電路中的歐姆定律（${\displaystyle V=IR}$），其中壓力差${\displaystyle \Delta P}$對應電壓${\displaystyle V}$，而體積流率${\displaystyle \Phi }$對應電流，則以下的物理量對應電阻

${\displaystyle R={\frac {8\eta \Delta x}{\pi r^{4}}}.}$

一個管子的有效阻力和半徑倒數的四次方成正比，因此管子的半俓減半會使管子的阻力變為原來的16倍。

歐姆定律和泊肃叶定律都是對於輸運現象的描述。

相關條目

• 达西定律
• 脉搏
• 波
• 液压回路

参考文献

1. Sutera, S P; Skalak, R. The History of Poiseuille's Law. Annual Review of Fluid Mechanics. 1993-01, 25 (1): 1–20. ISSN 0066-4189. doi:10.1146/annurev.fl.25.010193.000245.
2. Kirby, Brian. Preface. Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. : xv–xvi. ISBN 978-0-511-76072-3.
3. Bruus, Henrik. Theoretical microfluidics. Oxford Univ. Press. 2011. ISBN 978-0-19-923509-4. OCLC 753178868.
4. Vogel, Steven, author. Life in Moving Fluids : The Physical Biology of Flow - Revised and Expanded Second Edition. ISBN 0-691-21297-X. OCLC 1158109140.
5. 層流與擾流. [2014-01-07]. （原始内容存档于2014-01-07）.
6. Determinants of Resistance to Flow (Poiseuille's Equation). CV Physiology. [2020-09-29]. （原始内容存档于2021-01-18）.