同餘關係

在数学特别是抽象代数中，同餘关系或简称同餘是相容于某个代数运算的等价关系。

模算术

元型例子是模算术：对于一个正整数n，如果a − b整除于n（还有一个等价的条件是它们除以n得出同样的餘数），则两个整数a和b被称为同餘模n。

例如，5和11同餘模3：

11 ≡ 5 (mod 3)

因为11 − 5得出6，它整除于3。或者等价的说，这两个数除以3得到相同的餘数：

11 = 3×3 + 2

5 = 1×3 + 2

如果${\displaystyle a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}}$并且${\displaystyle a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {n}}}$，则${\displaystyle a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {n}}}$并且${\displaystyle a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {n}}}$。这把同餘(mod n)变成了在所有整数的环上的一个等价。

线性代数

两个实数矩阵A和B被称为合同的，如果存在可逆实数矩阵P使得

${\displaystyle P^{\top }AP=B}$。

对称矩阵有实数特征值。对称矩阵的“惯性”是由正特征值的数目、零特征值的数目和负特征值的数目组成的三元组。Sylvester惯性定律声称两个对称实数矩阵是合同的，当且仅当它们有相同的惯性。所以，全等变换可以改变矩阵的特征值但不能改变特征值的符号。

对于复数矩阵，必须区分“^T合同”（A和B是^T合同，如果有可逆矩阵P使得P^TAP = B）和“*合同”（A和B是*合同，如果有可逆矩阵P使得P*AP = B）。

泛代数

想法是推广到泛代数中：代数A上的同餘关系是直积A×A的子集，它既是在A上的等价关系又是A×A的子代数。

同态的核总是同餘。实际上，所有同餘引起自核。对于给定在A上的同餘~，等价类的集合A/~可以自然的方式给出自代数的结构商代数。映射所有A的元素到它的等价类的函数是同态，这个同态的核是~。

在一个代数上的所有同餘关系的格是代数格。

群的同餘、正规子群和理想

在群的特殊情况下，同餘关系可以用基本术语描述为：如果G是群（带有单位元e）并且~是在G上的二元关系，则~是同餘只要：

1. 给定G的任何元素a，a ~ a（自反关系）。
2. 给定G任何的元素a和b，如果a ~ b，则b ~ a（对称关系）。
3. 给定G的任何元素a,b和c，如果a ~ b 并且b ~ c，则a ~ c（传递关系）。
4. 给定G的任何元素a,a',b和b' ，如果a ~ a' 并且b ~ b' ，则a * b ~ a' * b' 。
5. 给定G的任何元素a和a' ，如果a ~ a' ，则a⁻¹ ~ a' ⁻¹（这个条件可以从其他四个条件证明，所以严格上是冗餘的）。

条件1, 2和3声称~是等价关系。

同餘~完全确定自G的同餘于单位元的那些元素的集合{a ∈ G : a ~ e}，而这个集合是正规子群。特别是，a ~ b当且仅当b⁻¹ * a ~ e。所以替代谈论在群上同餘，人们通常以正规子群的方式谈论它们；事实上，所有同餘都唯一的对应于G的某个正规子群。

环理想和一般情况的核

类似的技巧允许谈论环中的核为理想来替代同餘关系，在模理论中为子模来替代同餘关系。

这个技巧不适用于幺半群，所以同餘关系的研究在幺半群理论扮演更中心的角色。

参见

• 合同
• 等價關係
• 模
• 模算數

引用

• Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.（Section 4.5 discusses congruency of matrices.）