同调镜像对称

同调镜像对称是马克西姆·孔采维奇提出的数学猜想，为研究弦理论的物理学家首次观察到的镜像对称现象寻求一种系统的数学解释。

历史

Kontsevich (1994)在苏黎世国际数学家大会上发言，推测一对卡拉比-丘流形X、Y的镜像对称可以解释为由X的代数几何构造的三角范畴（X上凝聚层的导出范畴）和由Y的辛几何构造得三角范畴（导出深谷范畴）的等价性。 爱德华·威滕最初描述了将N=(2,2)超对称场论拓扑扭曲为他所谓A、B模型拓扑弦论，涉及从黎曼曲面到固定目标（通常是卡拉比-丘流形）的映射。镜像对称的大多数预言包含于Y上的A模型与其镜像X上的B模型的物理等价中。黎曼曲面的边界为空时，它们表示闭弦的世界面。为涵盖开弦情形，必须引入边界条件以保持超对称。A模型的边界条件是Y的拉格朗日子流形形式，并带有一些附加结构（通常称为膜结构）；B模型的边界条件，形式是X的全纯（或代数）子流形，与其上的全纯（或代数）向量丛。这些是用于建立相关范畴的对象，通常称作A膜、B膜。范畴中的态射来自两膜之间伸展的开弦的无质谱。

闭弦A、B模型只捕捉到了所谓拓扑部分，是全体弦论的一小部分。相似地，模型中的膜也只是D膜这一完整动力学对象的拓扑近似。即便如此，这部分弦论产生的数学也深奥而困难。

2016-17年，普林斯顿高等研究院数学学院用了整整一学年时间研究同构镜像对称，参与者包括MIT的Paul Seidel、法国高等科学研究所的马克西姆·孔采维奇、伯克利加州大学的Denis Auroux。^[1]

例子

数学家只在几个例子中验证了这一猜想。孔采维奇在自己的开创性演讲中评论说，这个猜想可用Θ函数在椭圆曲线的情形下证明。Alexander Polishchuk和Eric Zaslow根据这一思路证明了椭圆曲线版本猜想。深谷贤治建立了阿贝尔簇猜想的元素。之后，孔采维奇和Yan Soibelman利用SYZ猜想的思想，证明了仿射流形上的非奇异环面丛上的猜想的大部分内容。2003年，Paul Seidel证明了四次曲面情形的猜想。Hausel & Thaddeus (2002)在希钦系统和朗兰兹对偶性的背景下解释了SYZ猜想。

霍奇菱形

调和${\displaystyle (p,\ q)}$微分形式（等价于上同调，即闭形式模正合形式）空间的维度${\displaystyle h^{p,\ q}}$按惯例排列为菱形，称作霍奇菱形。可以用弗里德里希·希策布鲁赫描述的生成函数算出完全交的这些(p,q)-贝蒂数。^[2][3][4]例如，对于3维流形，霍奇菱形的p与q值范围为0到3:

			h3,3
		h3,2		h2,3
	h3,1		h2,2		h1,3
h3,0		h2,1		h1,2		h0,3
	h2,0		h1,1		h0,2
		h1,0		h0,1
			h0,0

镜像对称将原流形的(p, q)次微分形式${\displaystyle h^{p,\ q}}$的维数转化为相对的流形的${\displaystyle h^{n-p,\ q}}$。也就是说，对任意卡拉比-丘流形，霍奇菱形在旋转π弧度下保持不变，与镜像卡拉比-丘流形的霍奇菱形在旋转π/2弧度后相关联。

椭圆曲线被视为1维卡拉比-丘流形的情形下，霍奇菱形非常简单：

	1
1		1
	1

K3曲面被视为2维卡拉比-丘流形，因为其贝蒂数是{1, 0, 22, 0, 1}，霍奇菱形如下：

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

3维情形中，通常称作卡拉比-丘流形，会发生非常有趣的事。有时会出现镜像对，如M、W，具有沿对角线相互对称的霍奇菱形。

M的菱形：

			1
		0		0
	0		a		0
1		b		b		1
	0		a		0
		0		0
			1

W的菱形：

			1
		0		0
	0		b		0
1		a		a		1
	0		b		0
		0		0
			1

M、W对应弦论中的A、B模型。镜像对称不仅取代了同调维度，还取代了镜像对上的辛结构与复结构，这就是同调镜像对称的起源。

1990-1991年，Candelas et al. 1991的研究不仅对枚举代数几何，还对整个数学产生了重大影响，并启发了Kontsevich (1994)。文中，两五次三维流形的镜像对有如下霍奇菱形。

1 0 0 0 1 0 1 101 101 1 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 101 0 1 1 1 1 0 101 0 0 0 1

另见

• 镜像对称猜想
• 拓扑量子场论
• 范畴论
• 弗洛尔同调
• 深谷范畴
• 导出范畴
• 五次三维流形

参考文献

1. IAS school of mathematics: Special Year on Homological Mirror Symmetry. [2024-02-16]. （原始内容存档于2020-08-04）.
2. Hodge diamond of complete intersections. math.stackexchange.com. [2017-03-06].
3. Cohomology tables for complete intersections. pbelmans.ncag.info. [2017-03-06]. （原始内容存档于2023-11-09）.
4. Nicolaescu, Liviu. Hodge Numbers of Complete Intersections (PDF). [2024-02-16]. （原始内容存档 (PDF)于2023-11-13）.

• Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda. A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory. Nuclear Physics B. 1991, 359 (1): 21–74. Bibcode:1991NuPhB.359...21C. MR 1115626. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6.
• Kontsevich, Maxim. Homological algebra of mirror symmetry. 1994. arXiv:alg-geom/9411018 .
• Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan. Homological Mirror Symmetry and torus fibrations. 2000. arXiv:math.SG/0011041 .
• Seidel, Paul. Homological mirror symmetry for the quartic surface. 2003. arXiv:math.SG/0310414 .
• Hausel, Tamas; Thaddeus, Michael. Mirror symmetry, Langlands duality, and the Hitchin system. Inventiones Mathematicae. 2002, 153 (1): 197–229. Bibcode:2003InMat.153..197H. S2CID 11948225. arXiv:math.DG/0205236 . doi:10.1007/s00222-003-0286-7.