卡西尼卵形线

卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，是环面曲线的一种。也就是说，如果我们定义dist(a,b)为从点a到点b的距离，则卡西尼卵形线上的所有点都满足以下的方程：

${\displaystyle {\mbox{dist}}(q_{1},p){\mbox{dist}}(q_{2},p)=b^{2}\,}$

卡西尼卵形线，焦点为(-1, 0)和(1, 0)

其中b是常数。

q₁和q₂称为卵形线的焦点。

假设q₁是点(a,0)，q₂是点(-a,0)，则曲线的方程为：

${\displaystyle ((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}}$

或

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}}$

以及

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+a^{2})^{2}-4a^{2}x^{2}=b^{4}}$

极坐标系中的方程为：

${\displaystyle r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}}$

卵形线的形状与比值b/a有关。如果b/a大于1，则轨迹是一条闭曲线。如果b/a小于1，则轨迹是两条不相连的闭曲线。如果b/a等于1，则是伯努利双扭线。

参考文献

• Gray, A. "Cassinian Ovals." §4.2 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 82-86, 1997.
• Lockwood, E. H. A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 187-188, 1967.

參見

• 卵形線

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 卡西尼卵形线. MathWorld.
• 2Dcurves.com（页面存档备份，存于互联网档案馆）